This work makes explicit an algebraic expression giving the matrix of transient influence coefficients associated with a one-dimensional semi-confined aquifer model. The domain studied is divided into a series of connected and completely mixed compartments over which the governing equation is discretized. The discrete equations obtained are solved for the compartmental hydraulic head and used to derive the algebraic expression in question. The basic properties of the so-called algebraic influence coefficients are investigated. In particular, their consistency with the exact Green function is highlighted. Finally, the newly derived influence coefficients are applied to a simplified aquifer system in order to formulate and solve the problem of identifying illegal groundwater pumping.

Illegal pumping from underground reservoirs is approached as an inverse problem. The procedure seeks among a set of suspected potential areas the ones from which water is effectively pumped out (or in) and at what rate does this take place? Influence coefficient and finite element are combined in order to simulate the aquifer response to hypothetical pumping scenarios. Then the optimal scenario which makes of simulated head distribution the best fit to the observed headset is retained as solution to the foregoing question. This optimal scenario is derived by minimizing the classical least squares error using the Levenberg-Marquardt Algorithm (LMA). Under the conditions of the treated aquifer example it is observed that LMA is non-convergent unless a regularizing measure is taken during the calculation of the correction applied to the parameter-vector between two successive iterations. The procedure is tested with uniform and non-uniform pumping. In both cases, it yields good identified pumping rates within the observation period, but its performance deteriorates markedly for the rates corresponding to the days when no monitoring well is yet active.Key words illegal pumping; identification; semi-confined aquifer; inverse problem; finite elements; singular value decomposition (SVD)Identification des pompages souterrains illégaux Résumé L'identification des pompages illégaux à partir des réservoirs souterrains est approchée comme un problème inverse. La procédure consiste à chercher parmi une série de positions potentielles suspectes, celles d'où l'eau est effectivement pompée (ou injectée) et avec quel débit cela a-t-il lieu? Les coefficients d'influence et la méthode des éléments finis sont combinés pour simuler la réponse de l'aquifère à des scénarios de pompage hypothétique. Ensuite, le scénario optimal qui rend la distribution du potentiel hydraulique simulé la meilleure approximation de celle observée est retenu comme réponse à la question soulevée. Ce scénario optimal est obtenu indirectement en minimisant l'erreur au sens des moindres carrés en utilisant l'Algorithme de Levenberg-Marquardt (ALM). Sous les conditions de l'exemple considéré il est remarqué que l'ALM ne converge pas à moins qu'une mesure régularisante est prise lors du calcul de la correction appliquée au vecteur des paramètres entre deux itérations successives. La procédure est testée sur des scénarios de pompage uniforme et non uniforme. Dans les deux cas elle identifie correctement le débit pompé pour les jours d'observation, mais ses performances se détériorent nettement vis-à-vis des débits correspondants aux jours où les observations n'ont pas encore été commencées.Mots clefs pompage illégal; identification; aquifère semi-confiné; problème inverse; éléments finis; décomposition en valeurs singulières (DVS)

Explicit algebraic expressions of influence coefficients of an aquifer system are addressed. The methodology is straightforwardly exemplified using a one-dimensional (1D) semi-confined homogeneous aquifer model. It consists of the integration of the governing equation from two different viewpoints. On the one hand, the analytical solution to the governing equation is presented under an integral form involving the appropriate Green function. On the other hand, equations resulting from a finite difference discretization are processed to deduce a fully explicit algebraic expression of the nodal hydraulic head. This latter, arranged after the previously developed continuum solution, helps with deriving an explicit algebraic expression of influence coefficients corresponding to the studied aquifer model. Finally, the study is extended to an inhomogeneous aquifer model.Key words compartment; finite difference method; Green function; influence coefficients; semi-confined aquifer Coefficients d'influence algébriques explicites: modèle aquifère mono-dimensionnelRésumé Les expressions algébriques explicites des coefficients d'influence d'un système aquifère sont étudiées. La méthodologie est illustrée simplement en utilisant un modèle d'aquifère homogène semiconfiné mono-dimensionnel (1D). Elle consiste en l'intégration de l'équation gouvernante de deux points de vue différents. D'une part, la solution analytique de l'équation gouvernante est présentée sous forme intégrale, à l'aide de la fonction de Green appropriée. D'autre part, les équations qui résultent de la discrétisation selon la méthode des différences finies sont traitées pour en déduire une expression algébrique entièrement explicite des valeurs nodales du potentiel hydraulique. Cette dernière, mise sous une forme semblable à la solution analytique précédemment développée, permet de déduire une expression algébrique explicite des coefficients d'influence correspondant au modèle d'aquifère considéré. L'étude est ensuite étendue à un modèle d'aquifère non-homogène.

No abstract

A closed form solution of a 1D heterogeneous transient aquifer model is developed. The aquifer model is considered over a finite domain (0,L) with only one transmissivity jump located at some position x 0 . The solution is studied in the light of two parameters, namely the magnitude of the transmissivity jump and the eccentricity of the jump locus x 0 with respect to the middle of the domain. At least two schemes can be envisaged: the first scheme, not considered in this work, combines the effect of the two aforementioned parameters while developing the solution. The second scheme separates them by confining the locus x 0 within a symmetrical sub-domain. In this way the solution restricted to this sub-domain involves only the transmissivity jump but is free from the effect of eccentricity. Then the problem is solved over the remaining part of the flow domain (0,L) as a homogeneous aquifer model. Afterwards, the derived solutions are concatenated using the flux continuity principle. These two schemes differ basically in the structure of the solution they produce. Nous avons étudié la solution en fonction de deux paramètres, à savoir l'amplitude du saut de transmissivité et l'excentricité de la position x 0 de ce saut par rapport au centre du domaine. Au moins deux schémas peuvent être envisagés. Dans le premier schéma, que nous n'avons pas envisagé dans ce travail, on combine l'effet des deux paramètres qu'on vient de mentionner lors du développement de la solution. Le second schéma les sépare, en isolant la position x 0 dans un sous-domaine symétrique. De cette façon, la restriction de la solution à ce sous-domaine met en jeu seulement le saut de transmissivité mais nous libère de l'effet d'excentricité. Le problème est ensuite résolu sur la partie restante du domaine (0,L) comme un modèle d'aquifère homogène. Les solutions déduites sont ensuite concaténées en utilisant le principe de continuité des flux. Ces deux schémas différent principalement par la structure de leur solution.