We consider weighted graphs, we equip them with a metric structure given by a weighted distance, and we discuss essential self-adjointness for weighted graph Laplacians and Schrödinger operators in the metrically non complete case.

We define the magnetic Schrödinger operator on an infinite graph by the data of a magnetic field, some weights on vertices and some weights on edges. We discuss essential self-adjointness of this operator for graphs of bounded degree. The main result is a discrete version of a result of two authors of the present paper.On définit l'opérateur de Schrödinger avec champ magnétique sur un graphe infini par la donnée d'un champ magnétique, de poids sur les sommets et de poids sur les arêtes. Lorsque le graphe est de degré borné, on étudie le caractère essentiellement auto-adjoint d'un tel opérateur. Le résultat principal est une version discrète d'un résultat de deux des auteurs du présent article.

A la mémoire de mon père Pr. Dr. Ing. Bèchir Torki (1931-2009 Résumé: On introduit le Laplacien ∆ ω,c d'un graphe G localement fini pondéréà la fois sur les sommets et sur les arêtes, ainsi que la notion d'opérateur de Schrödinger ∆ 1,a + W . Pour les graphesà poids constants sur les sommets, onétend un résultat de Wojciechowski pour le Laplacien et un résultat de Dodziuk pour les opérateurs de Schrödinger concernant le caractère essentiellement auto-adjoint. Le résultat principal de ce travailétablit que pour les graphes pondérésà valence bornée et métriquement complets, le Laplacien ∆ ω,c est essentiellement auto-adjoint, et il en va de même pour l' opérateur ∆ 1,a + W pourvu que la forme quadratique associée soit minorée. La preuve fait appelà la construction d'une fonction harmonique strictement positive qui permet d'écrire l'opérateur de Schrödinger ∆ 1,a + W comme un Laplacieǹ a poids ∆ ω,cà transformation unitaire près. * Math Subject Calssification (2000) : 05C63, 05C50, 05C12, 35J10, 47B25. † Mots clés : graphe infini, Laplacien de graphe pondéré, opŕateur de Schrödinger, essentiellement auto-adjoint.

Abstract. -We propose a general condition for self-adjointness of the Gauß-Bonnet operator D = d + δ based on the notion of negligible boundary introduced by Gaffney. This gives self-adjointness of the Laplace operator both for functions or 1-forms on infinite graphs. This is used to extend Flanders result concerning solutions of Kirchhoff laws. Résumé. Nous proposons une condition générale qui assure le caractère autoadjoint de l'opérateur de Gauss-Bonnet D = d + δ, basée sur la notion de bord négligeable introduite par Gaffney. Comme conséquence, l'opérateur de Laplace agissant sur les fonctions ou les 1-formes de graphes infinis. Nous utilisons ce cadre pourétendre le résultat de Flandersà propos des solutions des lois de Kirchhoff.

No abstract