УДК 519.65 А. Н. ХОМЧЕНКО Чорноморський національний університет імені Петра Могили О.І ЛИТВИНЕНКО, І.О. АСТІОНЕНКО Херсонський національний технічний університет ФІЗИЧНО АДЕКВАТНА КОНДЕНСАЦІЯ І МІШАНІ МОДЕЛІ СЕРЕНДИПОВИХ ЕЛЕМЕНТІВ У роботі розглядається серендипова версія квадратично-кубічної інтерполяції на канонічному квадраті (|x| ≤ 1, |y| ≤ 1). У напрямку вісі 0x функція змінюється за законом кубічної параболи, у напрямку 0y -за законом квадратичної параболи. Лагранжевий прообраз такого елемента має 12 вузлів (два внутрішніх). Як відомо, небажані внутрішні вузли виключають, щоб отримати серендипову модель. Традиційна процедура конденсації (редукції) полягає у складанні і розв'язуванні СЛАР з матрицею 12×12. Далі, щоб усунути внутрішні вузли, потрібно знайти "рецепт" конденсації, тобто побудувати лінійну залежність внутрішніх параметрів (двох) від граничних (десяти). Відомі приклади свідчать, що математично обґрунтований "рецепт" конденсації не гарантує фізичної адекватності спектра вузлових навантажень серендипових моделей. Так було з біквадратичним елементом ("рецепт" Джордана, 1970) і трикутником третього порядку ("рецепт" Сьярле-Равьяра, 1972). Щоб уникнути аномалій в спектрі вузлових навантажень, потрібно починати з побудови бажаного спектра. Це обернена задача, коли спочатку вибирають бажані інтегральні характеристики, а після цього визначають базис, який реалізує ці характеристики. Саме такий "нематричний" підхід запропоновано в роботі. Важлива властивість нематричної редукції полягає в тому, що вона виключає внутрішні вузли, але зберігає внутрішні параметри. Наявність "прихованих" параметрів дозволяє керувати формоутворенням альтернативних серендипових поверхонь. Ключові слова: скінченний елемент, лагранжева модель, серендипова модель, мішана модель, квадратично-кубічна інтерполяція, нематричний метод побудови мішаної серендипової моделі (10 вузлів), конденсація. А. Н. ХОМЧЕНКО Черноморский национальный университет имени Петра Могилы Е.И. ЛИТВИНЕНКО, И.А. АСТИОНЕНКО Херсонский национальный технический университет ФИЗИЧЕСКИ АДЕКВАТНАЯ КОНДЕНСАЦИЯ И СМЕШАННЫЕ МОДЕЛИ СЕРЕНДИПОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В работе рассматривается серендиповая версия квадратично-кубической интерполяции на каноническом квадрате (|x| ≤ 1, |y| ≤ 1). В направлении оси 0x функция изменяется по закону кубической параболы, в направлении 0y -по закону квадратичной параболы. Лагранжев прообраз такого элемента имеет 12 узлов (два внутренних). Как известно, нежелательные внутренние узлы исключают, чтобы получить серендипову модель. Традиционная процедура конденсации (редукции) состоит в составлении и решении СЛАУ с матрицей 12×12. Далее, чтобы устранить внутренние узлы, необходимо найти "рецепт" конденсации, то есть построить линейную зависимость внутренних параметров (двух) от граничных (десяти). Известные примеры показывают, что математически обоснованный "рецепт" конденсации не гарантирует физической адекватности спектра узловых нагрузок серендиповых моделей. Так было с биквадратичным элементом ("рецепт" Джордана, 1970) и

Чорноморський національний університет ім. Петра Могили О.І. ЛИТВИНЕНКО, С.О. КАРПОВА Херсонська філія Національного університету кораблебудування ім. адм. Макарова І.О. АСТІОНЕНКО Херсонський національний технічний університет МОДЕЛІ КОНОЇДІВ ТА МЕТОД ПЕРЕРІЗІВ Стаття присвячена дослідженню нових специфічних властивостей коноїдів -лінійчатих поверхонь Каталана (1843), які застосовуються в сучасному методі скінченних елементів (МСЕ). Коноїди з'явилися в МСЕ несподівано, коли у 1968 р. Ергатудіс, Айронс і Зенкевич сконструювали підбором перші серендипові скінченні елементи (СЕ): білінійний Q4, біквадратичний Q8 і бікубічний Q12. Коноїди застосовуються у якості базисних функцій (функцій впливу) у всіх (без винятку) моделях стандартних серендипових СЕ, незважаючи на неприродні спектри еквівалентних вузлових навантажень (фізична неадекватність). Саме коноїди, які асоціюються з проміжними вузлами інтерполяції, спричинили появу від'ємних навантажень у кутових вузлах СЕ. Найавторитетніший фахівець проф. О. Зінкевич радив змиритися з цим недоліком. Позбутися фізичної неадекватності в кутових вузлах можна, якщо відмовитись від коноїдів в проміжних вузлах. Але такі серендипові СЕ вже належать до альтернативних моделей. Варто зауважити, що коноїди використовують не тільки в МСЕ. Технологічні та естетичні якості коноїдів давно приваблюють архітекторів і будівельників. Потрібно знайти такі коноїди, які забезпечують фізичну адекватність моделей. Треба звернути увагу на тригонометричні коноїди, які недостатньо досліджені. Попередні дослідження свідчать, що тіло, яке утворюється коноїдом і носієм, може бути сімпсоновим. Поповнення модельного ряду сімпсонових тіл -цікава самостійна задача. Але на коноїдах правило трьох перерізів (кубатура Сімпсона) не завжди дає правильну відповідь. Головне -правильно обчислити площу середнього перерізу правильно вибраної трійки перерізів. Ця задача має самостійне значення. Підібрані приклади коноїдів дають можливість порівняти прості і наочні підходи з процедурою Монте-Карло. Когнітивно-графічний аналіз -найкраща інформаційна технологія, особливо у поєднанні з комп'ютерними експериментами. Ключові слова: коноїд: поліноміальний (стандарт) та тригонометричний (альтернатива), спектр вузлових навантажень на СЕ, фізична неадекватність стандартної моделі; площа перерізу коноїда, геометрична оцінка площі, статистична оцінка площі. напрямна коноїда, твірна коноїда.

The paper considers the triangle T7, which has seven nodes (three nodes in the points, three nodes in the middle of the sides and one node in the barycenter). It is shown that T7, as well as standard T10 can fulfill a dual role: both of a computational pattern and a finite element. Violation of inter-element continuity (incompatibility) at the boundary with triangular T6 or square Q8 has no undesirable effects. T7 model successfully withstands lump testing. Upon that the "blown" mode of T7 opens the possibility to generate by condensation many alternative models of T6 with different integral characteristics.

The paper considers new models of bases of serendipity finite elements (FE) Q8. In recent years, the library of serendipity finite elements has been significantly replenished with non-standard (alternative) models. The reasons for the inadequacy of the spectrum were identified and "recipes" were proposed to eliminate this shortcoming of standard serendipity models. New approaches to modeling bases with the help of hierarchical forms force to abandon conoids - linear surfaces that are associated with intermediate nodes of standard elements. Therefore, research is being conducted today, and it is not necessary to give up conoids. The paper shows how by compressing the surface of the conoid it is possible to obtain a mathematically sound and physically adequate spectrum of nodal loads.

The paper considers new models of bases of serendipity finite elements (FE) Q8. The standard element Q8 has been used in the finite element method (FEM) for more than 50 years despite the physical inadequacy of the spectrum of equivalent nodal loads.In recent years, the library of serendipity finite elements has been significantly replen-ished with non-standard (alternative) models. The reasons for the inadequacy of the spectrum were identified and "recipes" were proposed to eliminate this shortcoming of standard serendipity models. New approaches to modeling bases with the help of hierarchical forms force to abandon conoids - linear surfaces that are associated with intermediate nodes of standard elements. According to the authors, these Catalan surfaces (1843) are insufficiently studied and deserve the attention of modern researchers. Therefore, research is being conducted today, and it is not necessary to give up conoids. The paper shows how by compressing the surface of the conoid it is possible to obtain a mathematically sound and physically adequate spectrum of nodal loads. It is interesting that such capabilities are embedded in trigonometric functions, the popularity of which in the FEM is growing steadily.The purpose of the research is to constructively prove the existence of mathematically substantiated and (most importantly) physically adequate models of serendipity elements Q8 with the help of trigonometric bases.Trigonometric models of the finite element Q8 once again confirmed that serendipity elements are an inexhaustible source of important and interesting information. It should be noted that today it is not necessary to give up conoids for the sake of physical adequacy of the model. Conoids are also of "historical" importance to FEM. The first bases of serendipity FEs were constructed from conoids (1968).Taylor's elegant method (1972) is also based on conoids. New results show that trigo-nometric bases are able to preserve conoids and ensure the physical adequacy of the models.