УДК 519.65 А. Н. ХОМЧЕНКО Чорноморський національний університет імені Петра Могили О.І ЛИТВИНЕНКО, І.О. АСТІОНЕНКО Херсонський національний технічний університет ФІЗИЧНО АДЕКВАТНА КОНДЕНСАЦІЯ І МІШАНІ МОДЕЛІ СЕРЕНДИПОВИХ ЕЛЕМЕНТІВ У роботі розглядається серендипова версія квадратично-кубічної інтерполяції на канонічному квадраті (|x| ≤ 1, |y| ≤ 1). У напрямку вісі 0x функція змінюється за законом кубічної параболи, у напрямку 0y -за законом квадратичної параболи. Лагранжевий прообраз такого елемента має 12 вузлів (два внутрішніх). Як відомо, небажані внутрішні вузли виключають, щоб отримати серендипову модель. Традиційна процедура конденсації (редукції) полягає у складанні і розв'язуванні СЛАР з матрицею 12×12. Далі, щоб усунути внутрішні вузли, потрібно знайти "рецепт" конденсації, тобто побудувати лінійну залежність внутрішніх параметрів (двох) від граничних (десяти). Відомі приклади свідчать, що математично обґрунтований "рецепт" конденсації не гарантує фізичної адекватності спектра вузлових навантажень серендипових моделей. Так було з біквадратичним елементом ("рецепт" Джордана, 1970) і трикутником третього порядку ("рецепт" Сьярле-Равьяра, 1972). Щоб уникнути аномалій в спектрі вузлових навантажень, потрібно починати з побудови бажаного спектра. Це обернена задача, коли спочатку вибирають бажані інтегральні характеристики, а після цього визначають базис, який реалізує ці характеристики. Саме такий "нематричний" підхід запропоновано в роботі. Важлива властивість нематричної редукції полягає в тому, що вона виключає внутрішні вузли, але зберігає внутрішні параметри. Наявність "прихованих" параметрів дозволяє керувати формоутворенням альтернативних серендипових поверхонь. Ключові слова: скінченний елемент, лагранжева модель, серендипова модель, мішана модель, квадратично-кубічна інтерполяція, нематричний метод побудови мішаної серендипової моделі (10 вузлів), конденсація. А. Н. ХОМЧЕНКО Черноморский национальный университет имени Петра Могилы Е.И. ЛИТВИНЕНКО, И.А. АСТИОНЕНКО Херсонский национальный технический университет ФИЗИЧЕСКИ АДЕКВАТНАЯ КОНДЕНСАЦИЯ И СМЕШАННЫЕ МОДЕЛИ СЕРЕНДИПОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В работе рассматривается серендиповая версия квадратично-кубической интерполяции на каноническом квадрате (|x| ≤ 1, |y| ≤ 1). В направлении оси 0x функция изменяется по закону кубической параболы, в направлении 0y -по закону квадратичной параболы. Лагранжев прообраз такого элемента имеет 12 узлов (два внутренних). Как известно, нежелательные внутренние узлы исключают, чтобы получить серендипову модель. Традиционная процедура конденсации (редукции) состоит в составлении и решении СЛАУ с матрицей 12×12. Далее, чтобы устранить внутренние узлы, необходимо найти "рецепт" конденсации, то есть построить линейную зависимость внутренних параметров (двух) от граничных (десяти). Известные примеры показывают, что математически обоснованный "рецепт" конденсации не гарантирует физической адекватности спектра узловых нагрузок серендиповых моделей. Так было с биквадратичным элементом ("рецепт" Джордана, 1970) и

No abstract

No abstract

Чорноморський національний університет імені Петра Могили О.І ЛИТВИНЕНКО, І.О. АСТІОНЕНКО Херсонський національний технічний університет «ДУТА» МОДА ЯК КОГНІТИВНА МОДЕЛЬ ПОБУДОВИ ТРИКУТНИКА ТРЕТЬОГО ПОРЯДКУ Трикутники відіграють надзвичайно важливу роль в методі скінченних елементів (МСЕ). Робота присвячена дослідженню маловідомих властивостей «дутої» модивнутрішньої функції десятипараметричного базису поліноміальної інтерполяції трикутного скінченного елемента. «Дуті» моди − це моди, які мають відмінні від нуля амплітуди всередині елемента і амплітуди, що дорівнюють нулю на його сторонах. У методі скінченних елементів внутрішні вузли є небажаними, тому їх виключають разом із відповідними функціями форми. Перший метод виключення наведений у монографії Р. Галлагера і полягає у процедурі конденсації стосовно матриці жорсткості елемента. Другий методце безпосередня модифікація функцій форми таким чином, щоб виключити степені вільності, пов'язані з внутрішніми вузлами. Е. Мітчелл наводить приклади виключення внутрішніх вузлів на комплексах і мультиплексах. На трикутному елементі третього порядку десятий вузол в барицентрі усувають, як правило, за «рецептом» Сьярле-Равьяра. В результаті конденсації (редукції) «дута» мода лишається поза увагою дослідників і не використовується в практичних розрахунках. Ми розглядаємо «дуту» моду як самостійну математичну модель і шляхом когнітивно-графічного аналізу виявляємо маловідомі особливості формоутворення поверхні і корисні аналогії. Доведено існування зв'язків «дутої» моди з поліномами Ерміта-Кунса, квадратурами Гаусса (версія Бернуллі та версія Лежандра), задачею Прандтля про кручення призматичних стержнів. У даній роботі внутрішня мода трикутного скінченного елемента третього порядку, як і решта функцій базису, вперше використовувалась для реалізації поліноміальної інтерполяції функцій двох аргументів в умовах гіпотези Лагранжа. Когнітивно-графічний аналіз поверхні «дутої» моди дозволив більш глибоко проаналізувати всі властивості цієї моделі і відкрив потенціал для створення нових базисів і оптимізації існуючих. Ми маємо чергове підтвердження відомого факту: математика завжди дає більше, ніж від неї очікують. Немає сумніву, що «дута» мода це яскравий приклад когнітивної моделі. Ключові слова: скінченний елемент третього порядку, «дута» мода, метод перерізів поверхні, когнітивно-графічний аналіз, поліноми Ерміта-Кунса, квадратури Гаусса, задача Прандтля про кручення стержнів. А.Н. ХОМЧЕНКО Черноморский национальный университет имени Петра Могилы Е.И. ЛИТВИНЕНКО, И.А. АСТИОНЕНКО Херсонский национальный технический университет «ДУТАЯ» МОДА КАК КОГНИТИВНАЯ МОДЕЛЬ ПОСТРОЕНИЯ ТРЕУГОЛЬНИКА ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА Треугольники играют чрезвычайно важную роль в методе конечных элементов (МКЭ). Работа посвящена исследованию малоизвестных свойств «дутой» модывнутренней функции десятипараметрического базиса полиномиальной интерполяции треугольного конечного элемента.

Анотація. У роботі розглянуто трикутник Т7, який має сім вузлів (три вузли у вершинах, три вузли на серединах сторін і один вузол у барицентрі). В математиці Т7 використовують у якості обчислювального шаблона для наближеного інтегрування у трикутних областях. Зустрічається трикутник Т4, який також використовують у якості обчислювального шаблону. Між іншим, трикутник (двовимірний симплекс) -невичерпне джерело нових результатів. Засновник сучасного і дуже ефективного методу скінченних елементів (MCЕ) Р. Курант реалізував свої геніальні ідеї саме на трикутниках (трикутник Куранта, комірка Куранта). Але не всі трикутники здатні виконувати подвійну роль: обчислювального шаблона і скінченного елемента. До скінченних елементів вимоги більш жорсткі, наприклад, залежність між порядком елемента і кількістю вузлів, необхідних для поліноміальної інтерполяції. Ось чому серед трикутних СЕ зустрічаються тільки члени арифметичного ряду «трикутних» чисел Піфагора: Т3, Т6, Т10... Ми переконалися, що Т7, як і стандартний Т10, може виконувати подвійну роль, а порушення міжелементної неперервності (несумісність) на границі з трикутним Т6 або квадратним Q8 не має небажаних наслідків. Модель Т7 успішно витримує кускове тестування. При цьому «дута» мода Т7 відкриває можливості генерувати шляхом конденсації безліч альтернативних моделей Т6. Ключові слова: трикутник Т7, нестандартна модель, обчислювальний шаблон, скінченний елемент, кускове тестування.