Розглянуто механічні коливання нелінійного осцилятора, у якого відновлююча сила пропорційна квадрату деформації пру-жини. Рух спричинений або миттєво прикладеною силою сталої величини або прямокутним силовим імпульсом скінченної тривалості. Побудовано два варіанти аналітичного розв'язку нелінійної задачі Коші для неоднорідного диференціального рівняння другого порядку. В першому переміщення осцилятора у часі виражено через еліптичний косинус Якобі, що дає можливість обчислювати їх за допомогою відомих таблиць. У другому для розрахунку переміщень, задіяно Ateb-синус. За-пропоновано апроксимації, які з похибкою меншою одного відсотка, подають Ateb-синус в елементарних функціях. Показа-но, що коефіцієнт динамічності у розглянутого осцилятора менший двох. Він залежить від тривалості дії прямокутного си-лового імпульсу. Знайдена тривалість дії сили, коли досягається максимальний ефект розгойдування вільних коливань роз-вантаженого осцилятора. Вона залежить не тільки від параметрів осцилятора, а й від значення прикладеної сили, що не влас-тиво лінійним системам. Наведено приклади розрахунків та відповідні графіки.Ключові слова: нелінійний осцилятор, дія силового імпульсу, аналітичний розв'язок, еліптичний косинус, Ateb-синус.Рассмотрены механические колебания нелинейного осциллятора, у которого восстанавливающая сила пропорциональная квадрату деформации пружины. Движение вызвано или мгновенно приложенной силой постоянной величины или прямо-угольным силовым импульсом конечной протяженности. Построено два варианта аналитического решения нелинейной за-дачи Коши для неоднородного дифференциального уравнения второго порядка. В первом, перемещения осциллятора во времени выражено через эллиптический косинус Якоби. Во втором, для расчета перемещений, задействовано Ateb-синус. Предложены аппроксимации, которые, с погрешностью меньшей одного процента, представляют Ateb-синус в элементарных функциях. Показано, что коэффициент динамичности у рассматриваемого осциллятора меньший двух. Он зависит от дли-тельности действия прямоугольного силового импульса. Найдена продолжительность действия силы, когда достигается мак-симальный эффект раскачки свободных колебаний разгруженного осциллятора. Она зависит не только от параметров осцил-лятора, но и от значения приложенной силы, что не свойственно линейным системам. Приведено примеры расчетов и соот-ветствующие графики. Ключевые слова: нелинейный осциллятор, действие силового импульса, аналитическое решение, эллиптический ко-синус, Ateb-синус.The mechanical oscillations of a nonlinear oscillator, which has a rebounding force proportional to the square of the strain of the spring, have been considered. The movement is caused either by a instantly applied force of a constant value or by a rectangular force pulse of the finite extent. Two variants of the analytic solution of the nonlinear Cauchy problem for a nonhomogeneous differential equation of second order have been constructed. In the first one, the displacement of the oscillator in time is expressed in terms of the elliptic cosine of ...

No abstract

No abstract

No abstract

З використанням основних положень теорії Г. Герца про механічний удар твердих тіл розглянуто динамічну взаємодію пружного конуса з пружним півпростором, обмеженим плоскою поверхнею. Досліджено випадок, коли вісь конуса обертання перпендикулярна до границі півпростору, а початковою точкою контакту тіл є вершина конуса. Для опису місцевих деформацій тіл в зоні їх взаємодії використано відомий розв'язок вісесиметричної статичної контактної задачі теорії пружності, побудований І.Я. Штаєрманом. Задача співудару тіл зведена до диференціального рівняння другого порядку з квадратичною нелінійністю. Одержано дві форми аналітичного розв'язку цієї нелінійної задачі Коші. В першій використано Ateb-синус, а в другій -еліптичний косинус. Встановлено рівнозначність отриманих форм розв'язку, тобто можливість заміни однієї форми на іншу. Для обчислення значень Ateb-синуса методом лінійної інтерполяції подана спеціальна таблиця, а також запропонована аналітична апроксимація його елементарними функціями. Показана узгодженість результатів, до яких призводять ці два способи наближеного розрахунку значень Ateb-синуса. Виведена також наближена формула для обчислення значень еліптичного косинуса і підтверджена її вірогідність. За результатами розв'язання задачі удару отримано формули, що описують зміну у часі: зближення центрів мас тіл, сили ударної взаємодії, радіуса кругової площадки контакту та контактного тиску. Відзначено, що тиск нескінченний в центрі площадки, де вершина конуса контактує з півпростором. Проведено порівняння результатів, до яких призводять дві аналітичні форми розв'язку та числове комп'ютерне інтегрування диференціального рівняння стискання тіл, підданих удару. Встановлена гарна узгодженість числових результатів, одержаних різними способами. Досліджено вплив кута конусності на основні параметри динамічної взаємодії тіл. Показано, що збільшення кута конусності тіла, яке вдаряє, призводить до зменшення максимального динамічного стискання тіл і тривалості їх взаємодії та до зростання максимума сили удару при сталому значенні її імпульсу. Наведено числовий приклад розрахунку, де матеріалом конічного тіла вибрано сталь, а матеріалом нерухомого півпростору -гуму. Задачі такого типу виникають при розрахунках параметрів удару куска мінеральної сировини по футерованому гумою валку вібраційного класифікатора.Ключові слова: механічний удар, пружне конічне тіло, пружний півпростір, теорія Г. Герца, аналітичний розв'язок, Ateb-синус, еліптичний косинус.