Розглянуто вільні коливання системи з одним ступенем вільності за умови, що відновлююча сила пружини пропорційна кубу її деформації. Задіяно дві форми аналітичного розв'язку нелінійного диференціального рівняння. В першій формі розв'язок виражено через еліптичний косинус, а в другий -через періодичні Ateb-функції. Складено таблиці для обчислень значень цих функцій і побудовано в безрозмірних координатах графіки, які спрощують розрахунки переміщень осцилятора у часі. Виведено формули для обчислення періодів коливань при наданні осцилятору початкового відхилення від положення рівно-ваги або початкової швидкості (миттєвого імпульса) в цьому положенні. Наведено приклади розрахунків з використанням відомих таблиць неповного еліптичного інтеграла першого роду та з використанням складеної таблиці періодичних Ateb-функцій.Ключові слова: кубічно-нелінійний осцилятор, вільні коливання, еліптичний косинус, Ateb-функції, їх апроксимація.Рассмотрены свободные колебания системы с одной степенью свободы при условии, что восстанавливающая сила упругости пружины пропорциональна кубу ее деформации. Использовано две формы аналитического решения нелинейного дифферен-циального уравнения. В первой форме решение выражено через эллиптический косинус, а во второй -через ппериодические Ateb-функции. Составлены таблицы для вычислений значений этих функций и построены в безразмерных координатах гра-фики, которые упрощают расчеты перемещений осциллятора во времени. Выведены формулы для вычисления периодов колебаний при сообщении осциллятору начального отклонения от положения равновесия или начальной скорости (мгновен-ного импульса) в этом положении. Приведены примеры расчетов с использованием известных таблиц неполного эллиптиче-ского интеграла первого рода и с использованием составленной таблицы периодических Ateb-функций. Ключевые слова: кубически-нелинейный осциллятор, свободные колебания, эллиптический косинус, Ateb-функции, их аппроксимация.Free oscillations of a system with one degree of freedom are considered under the condition that the restoring force of spring elasticity is proportional to the cube of its deformation. Two forms of analytical solution of the nonlinear differential equation are used. In the first form, the solution is expressed in terms of an elliptic cosine, and in the second, through periodic Atebfunctions. The tables for calculating the values of these functions are constructed and plotted in dimensionless graphs coordinates, which simplify the calculations of the oscillator movements in time. Formulas are derived for calculating the oscillation periods when the oscillator sends the initial deviation from the equilibrium position or the initial velocity (instantaneous pulse) in this position. Examples of calculations using known tables of an incomplete elliptic integral of the first kind and using a compiled table of periodic Ateb functions are given.

Розглянуто механічні коливання нелінійного осцилятора, у якого відновлююча сила пропорційна квадрату деформації пру-жини. Рух спричинений або миттєво прикладеною силою сталої величини або прямокутним силовим імпульсом скінченної тривалості. Побудовано два варіанти аналітичного розв'язку нелінійної задачі Коші для неоднорідного диференціального рівняння другого порядку. В першому переміщення осцилятора у часі виражено через еліптичний косинус Якобі, що дає можливість обчислювати їх за допомогою відомих таблиць. У другому для розрахунку переміщень, задіяно Ateb-синус. За-пропоновано апроксимації, які з похибкою меншою одного відсотка, подають Ateb-синус в елементарних функціях. Показа-но, що коефіцієнт динамічності у розглянутого осцилятора менший двох. Він залежить від тривалості дії прямокутного си-лового імпульсу. Знайдена тривалість дії сили, коли досягається максимальний ефект розгойдування вільних коливань роз-вантаженого осцилятора. Вона залежить не тільки від параметрів осцилятора, а й від значення прикладеної сили, що не влас-тиво лінійним системам. Наведено приклади розрахунків та відповідні графіки.Ключові слова: нелінійний осцилятор, дія силового імпульсу, аналітичний розв'язок, еліптичний косинус, Ateb-синус.Рассмотрены механические колебания нелинейного осциллятора, у которого восстанавливающая сила пропорциональная квадрату деформации пружины. Движение вызвано или мгновенно приложенной силой постоянной величины или прямо-угольным силовым импульсом конечной протяженности. Построено два варианта аналитического решения нелинейной за-дачи Коши для неоднородного дифференциального уравнения второго порядка. В первом, перемещения осциллятора во времени выражено через эллиптический косинус Якоби. Во втором, для расчета перемещений, задействовано Ateb-синус. Предложены аппроксимации, которые, с погрешностью меньшей одного процента, представляют Ateb-синус в элементарных функциях. Показано, что коэффициент динамичности у рассматриваемого осциллятора меньший двух. Он зависит от дли-тельности действия прямоугольного силового импульса. Найдена продолжительность действия силы, когда достигается мак-симальный эффект раскачки свободных колебаний разгруженного осциллятора. Она зависит не только от параметров осцил-лятора, но и от значения приложенной силы, что не свойственно линейным системам. Приведено примеры расчетов и соот-ветствующие графики. Ключевые слова: нелинейный осциллятор, действие силового импульса, аналитическое решение, эллиптический ко-синус, Ateb-синус.The mechanical oscillations of a nonlinear oscillator, which has a rebounding force proportional to the square of the strain of the spring, have been considered. The movement is caused either by a instantly applied force of a constant value or by a rectangular force pulse of the finite extent. Two variants of the analytic solution of the nonlinear Cauchy problem for a nonhomogeneous differential equation of second order have been constructed. In the first one, the displacement of the oscillator in time is expressed in terms of the elliptic cosine of ...

No abstract

Розглянуто нелінійні коливання, спричинені або початковим відхиленням осцилятора від положення рівноваги або наданою йому в цьому положенні початковою швидкістю. Припускається, що відновлююча сила пропорційна синусу переміщення коливальної системи. Передбачено два варіанти синуса: тригонометричний і гіперболічний. У першому варіанті силова ха-рактеристика осцилятора м'яка, а в другому -жорстка. При м'якій силовій характеристиці введено потрібні обмеження на початкові збурення системи. Побудовано в еліптичних функціях точні аналітичні розв'язки нелінійної задачі Коші. Виведено та апробовано розрахунками замкнені формули для обчислення переміщень осцилятора та періода циклічного руху. Щоб спростити розрахунки, у разі відсутності таблиць еліптичних функцій Якобі, запропоновано наближені подання їх в елемен-тарних функціях. Наведено приклади розрахунків.Ключові слова: вільні нелінійні коливання, пружний осцилятор, синусоїдальна силова характеристика, нелінійна зада-ча Коші, аналітичний розв'язок, еліптичні функції.Рассмотрены нелинейные колебания, вызванные или начальным отклонением осциллятора от положения равновесия или данной ему в этом положении начальной скоростью. Предполагается, что восстанавливающая сила пропорциональна синусу перемещения колебательной системы. Предусмотрено два варианта синуса: тригонометрический и гиперболический. В пер-вом варианте силовая характеристика осциллятора мягкая, а во втором -жесткая. При мягкой силовой характеристике вве-дено необходимые ограничения на начальные возмущения системы. Построено в эллиптических функциях точные аналити-ческие решения нелинейной задачи Коши. Выведено и апробировано расчетами замкнутые формулы для вычисления пере-мещений осциллятора и периода циклического движения. Чтобы упростить расчеты, в случае отсутствия таблиц эллиптиче-ских функций Якоби, предложено приближенные представления их в элементарных функциях. Приведены примеры расче-тов.Ключевые слова: свободные нелинейные колебания, упругий осциллятор, синусоидальная силовая характеристика, нелинейная задача Коши, аналитическое решение, эллиптические функции.Nonlinear oscillations caused by the initial deviation of the oscillator from the equilibrium position or the initial velocity given to it in this position are considered. It is assumed that the restoring force is proportional to the sine of the displacement of the oscillatory system. There are two variants of the sine: trigonometric and hyperbolic. In the first variant, the power characteristic of the oscillator is soft, and in the second, it is rigid. With a soft power characteristic, restrictions on the initial perturbations of the system are introduced. The exact analytic solutions of the nonlinear Cauchy problem are constructed in elliptic functions. Closed formulas for calculating the displacements of the oscillator and the period of cyclic motion are derived and tested by calculations. To simplify the calculations, in the absence of tables of elliptic Jacobi functions, approximate representations of them in elementary functions are propo...

No abstract