Розглянуто вільні коливання системи з одним ступенем вільності за умови, що відновлююча сила пружини пропорційна кубу її деформації. Задіяно дві форми аналітичного розв'язку нелінійного диференціального рівняння. В першій формі розв'язок виражено через еліптичний косинус, а в другий -через періодичні Ateb-функції. Складено таблиці для обчислень значень цих функцій і побудовано в безрозмірних координатах графіки, які спрощують розрахунки переміщень осцилятора у часі. Виведено формули для обчислення періодів коливань при наданні осцилятору початкового відхилення від положення рівно-ваги або початкової швидкості (миттєвого імпульса) в цьому положенні. Наведено приклади розрахунків з використанням відомих таблиць неповного еліптичного інтеграла першого роду та з використанням складеної таблиці періодичних Ateb-функцій.Ключові слова: кубічно-нелінійний осцилятор, вільні коливання, еліптичний косинус, Ateb-функції, їх апроксимація.Рассмотрены свободные колебания системы с одной степенью свободы при условии, что восстанавливающая сила упругости пружины пропорциональна кубу ее деформации. Использовано две формы аналитического решения нелинейного дифферен-циального уравнения. В первой форме решение выражено через эллиптический косинус, а во второй -через ппериодические Ateb-функции. Составлены таблицы для вычислений значений этих функций и построены в безразмерных координатах гра-фики, которые упрощают расчеты перемещений осциллятора во времени. Выведены формулы для вычисления периодов колебаний при сообщении осциллятору начального отклонения от положения равновесия или начальной скорости (мгновен-ного импульса) в этом положении. Приведены примеры расчетов с использованием известных таблиц неполного эллиптиче-ского интеграла первого рода и с использованием составленной таблицы периодических Ateb-функций. Ключевые слова: кубически-нелинейный осциллятор, свободные колебания, эллиптический косинус, Ateb-функции, их аппроксимация.Free oscillations of a system with one degree of freedom are considered under the condition that the restoring force of spring elasticity is proportional to the cube of its deformation. Two forms of analytical solution of the nonlinear differential equation are used. In the first form, the solution is expressed in terms of an elliptic cosine, and in the second, through periodic Atebfunctions. The tables for calculating the values of these functions are constructed and plotted in dimensionless graphs coordinates, which simplify the calculations of the oscillator movements in time. Formulas are derived for calculating the oscillation periods when the oscillator sends the initial deviation from the equilibrium position or the initial velocity (instantaneous pulse) in this position. Examples of calculations using known tables of an incomplete elliptic integral of the first kind and using a compiled table of periodic Ateb functions are given.

Applied mechanics 25  V. Ol'shanskii, O. Spol'nik, M. Slipchenko, V. Znaidiuk, 2019 19. A numerical analysis of non-linear contact tasks for the system of plates with a bolted connection and a clearance in the fixture / Atroshenko O., Bondarenko O., Ustinenko O., Tkachuk M., Diomina N. // Eastern-European Journal of Enterprise Technologies. . Thin walled structures: analysis of the stressed strained state and parameter validation / Tkachuk M., Bondarenko M., Grabovskiy A., Sheychenko R., Graborov R., Posohov V. et. al. // Eastern21. Numerical methods for contact analysis of complex-shaped bodies with account for non-linear interface layers / Tkachuk M. M., Skripchenko N., Tkachuk M. A., Grabovskiy A. // Eastern Розглянуто пружний прямий удар по плоскiй границi нерухомого пiвпростору тiла, обмеженого в зонi контактної взаємодiї поверхнею обертання, порядок якої менший двох. Особливiсть задачi полягає в тому, що для вибраного випадку нескiнченна кривизна граничної поверхнi в точцi первiсного контакту, з якої розпочинається процес динамiчного стискання тiл у часi. Крiм основних припущень не хвильової квазистатичної теорiї пружного удару твердих тiл, тут використано також вiдомий розв'язок статичної вiсесиметричної контактної задачi теорiї пружностi. Процес удару з невеликою початковою швидкiстю подiлено на два етапи, а саме на динамiчне стискання i динамiчне розтискання. Для кожного з них побудовано аналiтичний розв'язок нелiнiйного диференцiального рiвняння вiдносного зближення у часi центрiв мас тiл. Розв'язок нелiнiйної задачi з початковими умовами для диференцiального рiвняння другого порядку на першому етапi виражено через Ateb-синус, а на другому -через Ateb-косинус. Для спрощення розрахункiв складено окремi таблицi вказаних спецiальних функцiй, а також запропоновано компактнi апроксимацiї їх елементарними функцiями. Встановлено, що похибка аналiтичних наближень обох спецiальних функцiй менша одного вiдсотка. Виведено також замкненi вирази для обчислень максимальних значень: стискання тiл, сили удару, радiуса кругової площадки контакту та тиску, який обмежений у центрi цiєї площадки. Розглянуто числовий приклад, пов'язаний з ударом жорсткого пружного тiла по гумовому пiвпростору. Задачi такого типу виникають при моделюваннi динамiчної дiї кускiв твердої мiнеральної сировини на гуму, при падiннi їх на футерованi гумою валки вiбрацiйного класифiкатора. Внаслiдок порiвняння розрахованих параметрiв удару, одержано гарну узгодженiсть числових результатiв, до яких призводять побудованi аналiтичнi розв'язки та iнтегрування нелiнiйного рiвняння на комп'ютерi. Цим пiдтверджена вiрогiднiсть побудованих аналiтичних розв'язкiв задачi удару, якi дають розгортку короткочасного процесу в часiКлючовi слова: пружний удар, особлива точка на поверхнi контакту, перiодичнi Ateb-функцiї UDC 534.1:539.3

No abstract

No abstract