Розв'язано крайову задачу з визначення вільних коливань надземної ділянки газопроводу, які виникають у результаті проходження очисного (діагностичного) поршня. Граничні умови у цій задачі відповідають защемленню кінців ділянки газопроводу. Початкові умови отримано із розв'язку задачі вимушених коливань цієї ж надземної ділянки газопроводу, що зумовлені рухом очисного (діагностичного) поршня усередині газопроводу. Така задача була розв'язана раніше при використанні інтегрального перетворення Лапласа з урахуванням початкового прогину ділянки газопроводу під дією її власної ваги. Отриманий розв'язок такої задачі є сумою подвійних інтегралів та декількох простих доданків. Шуканий розв'язок задачі вільних коливань надземної ділянки газопроводу подано як добуток двох функцій. Перша з них є функцією тільки координати газопроводу, а другафункцією часу. Перша функція являє собою суму добутків невідомих коефіцієнтів, що знаходилися за відомими граничними умовами задачі, і функцій Крилова, в які входять корені характеристичного рівняння. Вона є власною функцією і характеризує собою форму вільних коливань ділянки газопроводу. Таких функцій існує безліч, оскільки є безліч коренів частотного рівняння. У другій функції при косинусах і синусах стоять невідомі коефіцієнти, що знаходяться за заданими початковими умовами задачі. Обчислення цих коефіцієнтів пов'язане із знаходженням інтегралів від добутку функцій початкових умов та власних функцій. Оскільки функції початкових умов задачі є складними і являють собою суму подвійних інтегралів та деяких простих функцій, то для полегшення обчислення вказаних коефіцієнтів використано інтерполяційні многочлени Лагранжа. На довжині ділянки газопроводу 100 м числові значення інтерполяційних многочленів співпадають з функціями початкових умов у 12 точках (враховуючи і крайні точки 0 і 100 м).Ключові слова: вільні коливання, надземна ділянка газопроводу, власні функції, корені характеристичного рівняння, інтерполяційні многочлени Лагранжа.

The problem of forced oscillations of an open section of a gas pipeline during the cleaning piston passage belongs to the type of problems of forced oscillations of one-dimensional elastic objects under the influence of a moving inertial load on them. Currently, there are two ways to solve such problems. The first way is related to the integration of the partial differential equation and the solution of such problems is a superposition of eigen-oscillations and accompanying oscillations. The second way does not involve the integration of the partial dif-ferential equation. Methods of generalized coordinates, generalized displacements and various numerical methods belong to the second type of solving. None of the mentioned methods is simple. Therefore, the authors suggest the method, in which the first mathematical model provides the determination of forced oscillations of the gas pipeline section during the passage of the cleaning piston without taking into account its inertial load on the gas pipeline. In future, on the basis of the first model it is planned to develop the second mathematical model which will provide an approximate determination of the deflections of the pipeline axis, taking into account the inertial load of the piston on the pipeline. The purpose of this article is to obtain a solution to the problem of forced oscillations of the pipeline section during the passage of the cleaning piston without taking into account the inertial forces on the pipeline. The problem is solved by partial differential equation, Fourier method is applied. The right side of the non-homogeneous differential equation is decomposed into an infinite series, which is the sum of the produc-tions of the eigenfunctions of the pipeline section free oscillations and the unknown function of time. After finding out this function, the authors determine the unknown time function in the Fourier method and hence the solution of the problem in the form of an infinite series, the summands of which lessen rapidly. The authors calculate the deflections of the pipeline axis along the entire section of the gas pipeline for different points of time, as well as deflections of individual sections changing in time and moments of deflection.

The task of determining the forced oscillations of the gas pipeline open section during the passage of the cleaning piston through it belongs to such type of problems, which deal with determining of forced oscillations of one-dimensional elastic objects under the action of a moving inertial load. There are currently two approaches of solving such problems. The first one involves the integration of the differential equation into partial derivatives and the solution of the problem is a superposition of eigenvalues ​​and accompanying oscillations. The second approach does not involve the integration of the differential equation in partial derivatives. It includes methods of generalized coordinates, generalized displacements, as well as various numerical methods. Neither the first nor the second method is simple. Therefore, a combined method is proposed, which consists of two mathematical models. The first model includes the integration of the differential equation in partial derivatives, but without taking into account the force of inertia of the cleaning piston. The second mathematical model consists of two stages. At the first stage, when integrating the equation in partial derivatives, an integral equation is obtained, in which the unknown function is the inertia force of the cleaning piston. At the second stage, this equation is solved approximately by a numerical method and the deflection of the gas pipeline axis and bending moments along its open section are determined. The aim of this article is to obtain an integral equation in which the unknown function is the force of inertia of the cleaning piston. To obtain this equation, inhomogeneous differential equation is solved in partial derivatives for the deflection of the axis of the gas pipeline, in which in its right part, in addition to the gravity force of the piston, there is an unknown function of its inertia force. This problem, as in the case without taking into account the force of inertia, was solved by the Fourier method. Here, the right part of the equation was decomposed into an infinite series, which is the sum of the products of the eigenfunctions of free oscillations of the pipeline section and the unknown function of time. After finding this function, the time function in the Fourier method was determined, and hence the solution of the problem in the form of an infinite series, the terms of which decrease rapidly, was obtained. Using the solution of this problem, we receive an integral equation in which the unknown function is a function of the inertia force of the cleaning piston.