Controlling stability of dynamical systems is one of the most important challenges in science and engineering. Hence, there appears to be continuous need to study and develop numerical algorithms of control methods. One of the most frequently applied invariants characterizing systems’ stability are Lyapunov exponents (LE). When information about the stability of a system is demanded, it can be determined based on the value of the largest Lyapunov exponent (LLE). Recently, we have shown that LLE can be estimated from the vector field properties by means of the most basic mathematical operations. The present article introduces new methods of LLE estimation for continuous systems and maps. We have shown that application of our approaches will introduce significant improvement of the efficiency. We have also proved that our approach is simpler and more efficient than commonly applied algorithms. Moreover, as our approach works in the case of dynamical maps, it also enables an easy application of this method in noncontinuous systems. We show comparisons of efficiencies of algorithms based our approach. In the last paragraph, we discuss a possibility of the estimation of LLE from maps and for noncontinuous systems and present results of our initial investigations.

В роботі здійснено якісний аналіз нелінійної динамічної дифузійної моделі продажу товару з використанням ефекту реклами. За допомогою першого методу Ляпунова досліджено стійкість положення рівноваги системи рівнянь збуреного руху (стійкість за лінійним наближенням). Побудовано область асимптотичної стійкості. За допомогою другого методу Ляпунова встановлено асимптотичну стійкість особливої точки в критичному випадку. Показано, що межа області асимптотичної стійкості є безпечною та присутня м'яка втрата стійкості. Доведено існування стійкого граничного циклу (біфуркація Хопфа). Факт існування циклу також був встановлений на основі теореми Пуанкаре-Бендіксона. За допомогою нормальної форми Пуанкаре визначено параметри автоколивань та граничного циклу. Ключові слова: дифузійна модель інновацій, асимптотична стійкість за Ляпуновим, граничний цикл, біфуркація Хопфа. * Статтю написано згідно з прикладною держбюджетною темою "Якісний аналіз диференціальних рівнянь в абстрактних просторах із застосуванням в моделюванні фізичних процесів" (номер державної реєстрації 0116U004691).