Grafos fulerenes são grafos cúbicos, planares, 3-conexos com cintura de tamanho 5. Uma coloração c: V (G) → {1, . . . , k} é uma coloração distância-2 se c(u) ≠ c(v) para todo u, v ∈ V (G) tal que dist(u, v) ≤ 2, onde dist(u, v) denota a distância usual entre u e v. Definimos χ2(G) como sendo o menor valor k para o qual existe uma coloração distância-2. Neste trabalho, provamos que χ2(G) = 5 para uma subclasse de grafos fulerenes.

Fixe uma coloração c : V (G) → ℕ dos vértices de um grafo G e seja W = v1 · · · v2r um caminho em G. Dizemos que W é repetitivo (com respeito a c) se c(vi) = c(vi+r) para todo i ∈ [r]. Finalmente, dizemos que c é uma coloração caminho não-repetitiva de G se não existe caminho repetitivo em G, e denotamos por π(G) o menor número de cores em uma coloração caminho não-repetitiva de G. Nós estudamos o número cromático não repetitivo de ladders circulares. O k-ladder circular CLk é o grafo obtido de duas cópias v1 · · · vkv1 e u1 · · · uku1 do ciclo de ordem k pela adição do emparelhamento perfeito {viui : i ∈ [k]}. Neste artigo, mostramos que se k é par e k ≥ 36, então π(CLk) = 5.

Fix a coloring c: V(G) → N of the vertices of a graph G and let W=v_1 ... v_{2r} be a walk in G. We say that W is repetitive (with respect to c) if c(v_i) = c(v_{i+r}) for i = 1,..., r; and that W is boring if v_i=v_{i+r}, for every i = 1,...,r. Finally, we say that c is a walk-nonrepetitive coloring of G if every repetitive walk is boring, and we denote by σ(G) the walk-nonrepetitive chromatic number, i.e., the minimum number of colors in a walk-nonrepetitive coloring of G. In this paper we explore the maximum number of edges in a graph G with n vertices for which σ(G) = k, for k≥ 4. In [Barát and Wood 2008] it was shown that e(G) ≤ (1/2)(k -1)n. We prove that the corresponding extremal graph is unique. More specifically, we show that e(G) ≤ (1/2)(k -1)n if and only if G is a union of disjoint copies of K_k. We also show that this upper bound can be improved for connected graphs for the case k = 4: if G is a connected graph for which σ(G) = 4 and |V(G)| ≥ 5, then e(G) ≤ (4/3)|V(G)|.