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O problema do Bombeiro foi introduzido por Hartnell em 1995 e consiste em um incêndio que começa em um ou mais vértices de um grafo e se espalha para todos os vértices adjacentes que ainda não foram protegidos. Neste trabalho nós apresentamos um algoritmo do problema do Bombeiro para uma família infinita de grafos fulerenos com simetria icosaedral completa, fornecendo uma taxa de sobrevivência de pelo menos 50%.

Grafos fulerenes são grafos cúbicos, planares, 3-conexos com cintura de tamanho 5. Uma coloração c: V (G) → {1, . . . , k} é uma coloração distância-2 se c(u) ≠ c(v) para todo u, v ∈ V (G) tal que dist(u, v) ≤ 2, onde dist(u, v) denota a distância usual entre u e v. Definimos χ2(G) como sendo o menor valor k para o qual existe uma coloração distância-2. Neste trabalho, provamos que χ2(G) = 5 para uma subclasse de grafos fulerenes.

Grafos (3, 6)-fullerenes são grafos planares, 3-conexos, cúbicos cujas faces têm tamanho 3 ou 6. Determinar o menor número de arestas a serem deletadas de um grafo de modo a obter um subgrafo gerador bipartido é conhecido na literatura [Doslic and Vukicevic 2007] como o Problema de Frustração de Arestas. Neste trabalho, abordamos o Problemas da Frustração de Arestas em grafos (3, 6)- fullerenes. Mostramos que todo grafo (3, 6)-fullerene com n vértices torna-se bipartido após a retirada de no máximo q4 3n arestas.