Η διατριβή αυτή επικεντρώνεται στη μελέτη παραμετρικών προσεγγιστικών αλγορίθμων που σχετίζονται με γραφήματα κολοκύθες. Χρησιμοποιώντας μία γενικευμένη προσέγγιση (που μπορεί να επεκταθεί και σε πιο γενικές κλάσεις γραφημάτων) σχεδιάζουμε αλγορίθμους που ανιχνεύουν μοντέλα κολοκυθών και που χτυπούν μοντέλα κολοκυθών σε μεγάλα γραφήματα. Στηριζόμενοι σε αυτούς τους αλγόριθμους αποδεικνύουμε ιδιότητες τύπου Erdős-Pósa ως προς κορυφές και ακμές για τις κλάσεις των κολοκυθών και των διπλών κολοκυθών· για την πρώτη βελτιώνουμε υπάρχοντα αποτελέσματα ενώ για τη δεύτερη παρέχουμε τα πρώτα του είδους τους. Στην πορεία προς τούτο, γενικεύουμε προηγούμενα αποτέλεσματα που παρέχουν συνθήκες οι οποίες εξαναγκάζουν την ύπαρξη μιας ελάσσονος κλίκας εκθετικού μεγέθους μέσα σε ένα μεγαλύτερο γράφημα-φορέα.

No abstract

Το πρώτο κεφάλαιο περιλαμβάνει την ιστορική και βιβλιογραφική αναδρομή στην ερευνητική περιοχή της διατριβής. Παρουσιάζονται οι βασικότερες ιδιότητες του γραφενίου, με ιδιαίτερη έμφαση στην ηλεκτρική αγωγιμότητά του, και παρατίθενται οι σημαντικότερες πειραματικές και θεωρητικές εργασίες που απορρέουν από αυτές. Το δεύτερο κεφάλαιο είναι αφιερωμένο στις γραμμικές και μη-γραμμικές ιδιότητες του γραφενίου στην κοντινή και μακρινή υπέρυθρη συχνοτική περιοχή. Η ανάλυση εστιάζεται στην ηλεκτρική επιφανειακή αγωγιμότητα του γραφενίου που απορρέει από την ιδιαίτερη ηλεκτρονιακή δομή του και η οποία δύναται να αναλυθεί σε γραμμική και μη-γραμμική. Παρουσιάζεται ο πλήρης τανυστικός και ανισοτροπικός χαρακτήρας της και δίνονται απλοποιημένες σχέσεις με βάση τις πειραματικά και θεωρητικά προτεινόμενες συμμετρίες. Στο τρίτο κεφάλαιο μελετάται το φαινόμενο Kerr τρίτης τάξης σε ευθύγραμμους κυματοδηγούς με γραφένιο. Η έρευνα πραγματοποιείται μέσω του μαθηματικού πλαισίου της Μη-Γραμμικής Εξίσωσης του Schrodinger (NLSE), η οποία τροποποιείται κατάλληλα για την ενσωμάτωση της επιφανειακής μη-γραμμικής αγωγιμότητας δυσδιάστατων (2D) υλικών, όπως το γραφένιο. Καθώς η μη-γραμμικότητα στην NLSE θεωρείται ως μικρή μεταβολή του γραμμικού προβλήματος είναι απαραίτητη και η ορθή λύση του τελευταίου. Οι προσομοιώσεις του γραμμικού προβλήματος διεξάγονται κάνοντας χρήση της μεθόδου πεπερασμένων στοιχείων (FEM) για την ανάλυση των ιδιορρύθμων στη διατομή του κυματοδηγού. Για τη συνεπέστερη μοντελοποίηση το γραφένιο εισάγεται στη FEM ως οριακή συνθήκη επιφανειακού ρεύματος. Η θεωρία που αναπτύχθηκε εφαρμόζεται σε διάφορους τύπους κυματοδηγών πυριτίου (καλωδίου και εγκοπής) και πλασμονικών κυματοδηγών (τύπου metal stripe και μέταλλο-μονωτής-μέταλλο) στην κοντινή υπέρυθρη συχνοτική περιοχή και κυματοδηγούς νάνο-ταινίας γραφενίου (graphene nanoribbon) στη μακρινή υπέρυθρη περιοχή, με σκοπό τη σύγκριση με άλλα θεωρητικά μοντέλα στη βιβλιογραφία και τη γενικότερη αποτίμηση της μη-γραμμικής συμπεριφοράς των κυματοδηγών με γραφένιο. Το τέταρτο κεφάλαιο έχει ως θέμα τη μελέτη της κορέσιμης απορρόφησης σε ευθύγραμμους κυματοδηγούς με γραφένιο. Προσθέτοντας έναν όρο κορεσμού στην επιφανειακή γραμμική αγωγιμότητα γίνεται εξαγωγή της κορέσιμης μη-γραμμικής παραμέτρου και των αντίστοιχων εξισώσεων της NLSE. Ο φορμαλισμός που ακολουθείται, εκκινώντας από τις εξισώσεις του Maxwell, επιτρέπει τον ακριβή υπολογισμό της αλληλεπίδρασης των οδηγούμενων ρυθμών με κάθε (απειροστά μικρό) τμήμα γραφενίου, ανεξαρτήτως του προφίλ του ρυθμού ή του τρόπου τοποθέτησης του γραφενίου. Κάνοντας εν συνεχεία χρήση του μοντέλου αυτού παρουσιάζονται παραδείγματα μη-γραμμικής αυτό-διαμόρφωσης και έτερο διαμόρφωσης απωλειών. Στο πέμπτο κεφάλαιο παρουσιάζεται η θεωρία της Συμμετρίας Ισοτιμίας-Χρόνου (PT-Symmetry) για δύο ευθύγραμμους συζευγμένους κυματοδηγούς και μελετάται η εφαρμογή της σε κυματοδηγούς με γραφένιο. Συγκεκριμένα, δίνεται έμφαση στην ύπαρξη κρίσιμων σημείων (exceptional points) στο πεδίο των παραμέτρων απωλειών. Εστιάζοντας στα παθητικά συστήματα, γίνεται εξαγωγή αναλυτικών μαθηματικών σχέσεων που περιγράφουν τις ιδιαιτερότητες στη λειτουργία ενός παθητικού PT-Symmetric φωτονικού ζεύκτη, ο οποίος αποτελείται από ένα κυματοδηγό χωρίς απώλειες και από ένα όμοιο κυματοδηγό όπου οι απώλειες μπορούν να μεταβληθούν μεταξύ ενός χαμηλού και υψηλού επιπέδου. Εξάγεται αναλυτικά ένα θεωρητικό μέγιστο του συντελεστή μετάδοσης ισχύος και το οποίο αποδεικνύεται ότι εξαρτάται αποκλειστικά από το λόγο του επιπέδου χαμηλών και υψηλών απωλειών. Η θεωρία αυτή εφαρμόζεται, μέσω της δυναμικά ελεγχόμενης γραμμικής αγωγιμότητας του γραφενίου, στη σχεδίαση οπτικών διακοπτικών στοιχείων. Τέλος, αξιοποιώντας την εγγενή ανισοτροπία του γραφενίου παρουσιάζεται η αναλυτική θεωρητική σχεδίαση διακοπτικών στοιχείων που είναι ευαίσθητα ως προς την πόλωση του οδηγούμενου ρυθμού. Στο έκτο κεφάλαιο επιχειρείται μια συνολική αποτίμηση της εργασίας, ανακεφαλαιώνονται τα βασικά συμπεράσματα της μελέτης και παρατίθενται ορισμένες πιθανές μελλοντικές ερευνητικές προεκτάσεις. Η διατριβή ολοκληρώνεται με ένα παράρτημα όπου περιγράφεται αναλυτικά η τροποποίηση της FEM για τη λύση του γραμμικού προβλήματος ιδιορρυθμών με σκοπό την εισαγωγή του γραφενίου είτε ως οριακή συνθήκη, διατηρώντας με τον τρόπο αυτό τον πραγματικό δυσδιάστατο χαρακτήρα του και αποφεύγοντας φυσικώς μη αποδεκτά συμπεράσματα.

No abstract