При розв’язанні граничних задач математичної фізики методом скінченних елементів у тривимірній області з використанням решіток тетраедрально-октаедральної структури існує необхідність отримання формул чисельного інтегрування по області октаедра. У даній роботі побудовано кубатурну формулу на октаедрі, яка є точною для алгебраїчних тривимірних поліномів третього, п’ятого та сьомого степенів. При цьому точність отриманої формули визначається вибором відповідних груп вузлів інтерполяції, які розташовані на осях симетрії даного багатогранника. Додавання певної групи вузлів приводить до збільшення степеня алгебраїчної точності від третього до сьомого. Визначено оптимальні параметри отриманої формули за кількістю вузлів інтерполяції, додатними ваговими коефіцієнтами та наявністю вузлів за межами області інтегрування при різних значеннях степеня тривимірного алгебраїчного полінома. Отримано оцінку залишкового члена кубатурної формули для підінтегральних функцій, які належать класу неперервно-диференційованих функцій до порядку 4, 6, 8 відповідно в області октаедра. Дана формула може бути використана для розрахунку скінченно-елементних матриць дискретної моделі задачі, забезпечує високий порядок точності обчислень та є ефективною за часовою складністю алгоритму методу скінченних елементів.

ПОБУДОВА БАЗИСУ БІПІРАМІДИУ статті біпіраміда вперше розглядається як 6-вузловий скінченний елемент (СЕ). Для побудови її біквадратичного базису використовуються два різних підходи: матричний спосіб та метод внутрішньої конденсації базису біпіраміди як 7-вузлового СЕ. Перший підхід дозволяє дослідити принципово можливу кількість базисів, а другий такої можливості не надає, але є більш економічним. Показано, що після задоволення традиційних вимог до базисних функцій у МСЕ у біквадратичних базисних функціях біпіраміди як 6-вузлового СЕ, які будуються за допомогою названих раніше підходів, залишається різна кількість невизначених коефіцієнтів. Ці коефіцієнти надалі використовуються для надання базисним функціям спеціальних властивостей, які адаптують їх до розв'язання граничних задач із рівнянням Лапласа. У якості критерію прогностичного оцінювання апроксимаційних властивостей СЕ у формі біпіраміди обрана величина сліду матриці жорсткості. Мінімізація сліду матриці жорсткості приводить до побудови одного і того ж біквадратичного базису при обох підходах.На основі отриманого базису аналізуються межі припустимих деформацій геометричної форми біпіраміди. Вперше теоретично доведено, що існує СЕ, при використанні якого як комірки скінченно-елементної сітки, найкраща точність досягається при відхиленні геометричної форми СЕ від правильного багатогранника, у даному випадку від октаедра. Знайдено критичне значення коефіцієнта стиснення, яке забезпечує мінімум сліду матриці жорсткості для біпіраміди з геометричною формою, що досліджується.Проведено обчислювальний експеримент, результати якого підтверджують теоретичний прогноз властивостей біпіраміди як СЕ. Виявлені залежності дозволяють припустити доцільність застосування базисів більш високого порядку для СЕ у формі біпіраміди.Ключові слова: метод скінченних елементів, біпіраміда, слід матриці жорсткості, тетраедрально-октаедральна решітка.

This paper reports the construction of cubature formulas for a finite element in the form of a bipyramid, which have a second algebraic order of accuracy. The proposed formulas explicitly take into consideration the parameter of bipyramid deformation, which is important when using irregular grids. The cubature formulas were constructed by applying two schemes for the location of interpolation nodes along the polyhedron axes: symmetrical and asymmetrical. The intervals of change in the elongation (compression) parameter of a bipyramid semi-axis have been determined, within which interpolation nodes of the constructed formulas belong to the integration region, while the weight coefficients are positive, which warrants the stability of calculations based on these cubature formulas. If the deformation parameter of the bipyramid is equal to unity, then both cubature formulas hold for the octahedron and have a third algebraic order of accuracy. The resulting formulas make it possible to find elements of the local stiffness matrix on a finite element in the form of a bipyramid. When calculating with a finite number of digits, a rounding error occurs, which has the same order for each of the two cubature formulas. The intervals of change in the elongation (compression) parameter of the bipyramid semi-axis have been determined, which meet the requirements, which are employed in the ANSYS software package, for deviations in the volume of the bipyramid from the volume of the octahedron. Among the constructed cubature formulas for a bipyramid, the optimal formula in terms of the accuracy of calculations has been chosen, derived from applying a symmetrical scheme of the arrangement of nodes relative to the center of the bipyramid. This formula is invariant in relation to any affinity transformations of the local bipyramid coordinate system. The constructed cubature formulas could be included in libraries of methods for approximate integration used by those software suites that implement the finite element method.

При розв’язанні задач математичної фізики методом скінченних елементів для об’ємних областей із використанням решіток тетраедрально-октаедральної структури існує задача вибору певного базису октаедра та формули чисельного інтегрування по даному багатограннику. Чисельний розв’язок задачі є розв’язком системи лінійних алгебраїчних рівнянь з коефіцієнтами, які є елементами матриць жорсткості та мас. Від точності кубатурних формул для октаедра залежить точність розв’язку граничної задачі. При дискретизації розрахункової області лінійними октаедром та тетраедром задачу чисельного інтегрування по області октаедра частково вирішено. Побудовані кубатурні формули для обчислення локальної матриці жорсткості для октаедра з кусково-лінійним, тригонометричним та поліноміальними другого порядку базисами. Кубатурна формула для обчислення елементів локальної матриці мас побудована для октаедра з тригонометричним базисом. Кубатурні формули для октаедра з тригонометричним та поліноміальними другого порядку базисами є точними, відповідно, для тригонометричного окремого виду та алгебраїчного третього порядку поліномів та містять мінімальну кількість вузлів інтерполяції. У даній роботі побудовано кубатурну формулу для квадратичного октаедра з поліноміальним четвертого порядку базисом. Дана формула є точною для алгебраїчних поліномів сьомого порядку та має два різних набори координат вузлів та вагових коефіцієнтів. Отримано оцінку залишкового члена кубатурної формули для підінтегральних функцій, які належать класу ( ) 8 C Ω . Теоретичні результати перевірено при обчисленні елементів локальної матриці жорсткості для системи поліноміальних четвертого порядку базисних функцій квадратичного октаедра. За результатами обчислень визначено оптимальну за точністю кубатурну формулу. Вагові коефіцієнти даної формули є додатними, одна з чотирьох груп вузлів інтерполяції не належить області октаедра. Побудована кубатурна формула може бути застосована при розв’язанні граничних задач математичної фізики для об’ємних областей, які дискретизовані решіткою тетраедрально-октаедральної структури.

с.н.с. кафедри фізики конденсованого стану Дніпровського державного технічного університету Томіна А.-М. В., н.с. кафедри фізики конденсованого стану Дніпровського державного технічного університету Буря О. І., к.т.н., проф., професор кафедри фізики конденсованого стану Дніпровського державного технічного університету Томін С. В., магістр кафедри фізики конденсованого стану Дніпровського державного технічного університету Методом математичного планування експерименту-ортогональним центральним композиційним плануванням 2-го порядку типу 3 2-досліджено вплив режимів експлуатації на трибологічні властивості органопластиків на основі ароматичного поліаміду фенілон марки С-1, армованих поліакрилонітрильним (Лола), поліоксідіазольним (Оксалон), полісульфонамідним (Танлон) волокнами. Визначено чинники, які впливають на інтенсивність лінійного зношування та коефіцієнт тертя розроблених матеріалів. Встановлено, що найбільший вплив на зносостійкість та коефіцієнт тертя органопластиків чинить навантаження, при цьому розроблені матеріали залишаються працездатними при факторі Pv =3 МПа•м 2 /с. Знайдено математичні моделі, у вигляді поліномів другого порядку, що адекватно описують залежність параметрів оптимізації розроблених матеріалів від швидкості ковзання та навантаження, а також дозволять оптимізувати роботу вузлів, укомплектованих органопластиками. Ключові слова: органопластики, режим експлуатації, методи математичного планування експерименту, зносостійкість, коефіцієнт тертя.