В работе доказываются аналоги теорем Глускина - Хоссу о строении $n$-групп и Малышева о строении $n$-квазигрупп с условием слабой обратимости справа и слева применительно к случаю сильно зависимых операций на конечном множестве.

Дискретная математика том 16 ВЫПУСК 3 * 2004 УДК 519.7 Бесповторная декомпозиция сильно зависимых функций © 2004 г. А. В. Черемушкин Приводится обобщение на fc-значный случай результатов по декомпозиции дво ичных функций. Описываются свойства групп автотопий и изострофий функций, до пускающих нетривиальную декомпозицию, а также предлагается метод вычисления параметров таких функций. Введение Проблема описания функционально разделимых двоичных функций, то есть функций, допускающих бесповторную декомпозицию, была поставлена еще К. Шенноном в 1949 г. (см. [1]). Задача о существовании и единственности различных типов декомпозиции ис следовалась рядом авторов и получила полное решение в работах [2] и [3]. В [2] вводится отношение близости формул и доказывается, что две бесповторные формулы представ ляют одну функцию в том и только том случае, когда они являются близкими. В [3] с использованием техники решения функциональных уравнений вводится отношение эк вивалентности на множестве переменных и с его помощью осуществляется сведение описания различных декомпозиций у функции к изучению простых декомпозиций. В дальнейшем внимание многих авторов было сосредоточено в основном на поис ке эффективных алгоритмов нахождения простых декомпозиций (см. [4, 5, 6] и др.) для полностью и частично определенных двоичных и &-значных функций, а также на изу чении условий существования декомпозиции для функций из конкретных классов (см., например, [7]). Другое направление исследований, возникшее под влиянием работ А. В. Кузнецова [2] и С. В. Яблонского [8], было посвящено исследованию классов функций, порожденных в различных базисах с помощью операции бесповторной суперпозиции (подробнее см. [9] и монографию [10]). Следует отметить, что термин "бесповторная" обычно относится к функциям, фор мулам, суперпозициям, а применительно к декомпозиции обычно используется термин "разделительная". В данной работе, как и в [13], в интересах единообразия всюду будет использован одинаковый термин, поскольку данное употребление, на взгляд автора, имеет определенное удобство и не должно вызывать разночтений. Для fc-значных функций, являющихся л-арными квазигруппами, решение функцио нальных уравнений описано в работе В. Д. Белоусова [14]. В работе автора [15] на основе 4 А. В. Черемушкин результата В. Д. Белоусова о решении уравнения общей ассоциативности получено опи сание бесповторной декомпозиции для п-арных квазигрупп, обобщающее на А:-значный случай результаты по декомпозиции двоичных функций. В настоящей статье изучается бесповторная декомпозиция сильно зависимых функ ций. С использованием приведенного в работе Ф. Н. Сохацкого [16] обобщения теоремы В. Д. Белоусова на случай сильно зависимых функций приводится обобщение результатов работы [15]. Показывается, что для каждой сильно зависимой функции можно определить однозначную с точностью до определенного отношения эквивалентности каноническую декомпозицию. В качестве применения полученных результатов приводится описание свойств групп автотопий и изострофий функций, допускающих нетривиальную бесповт...

Изучаются свойства распределения ранга случайной квадратичной формы над конечным полем GF(q). Отдельно рассматриваются случаи чётной и нечётной характеристик поля. Доказаны асимптотические нижние оценки значения ранга для почти всех квадратичных форм f от n переменных вида rank(f ) n − 2 log q n + c + 1,Ключевые слова: конечное поле, симплектическая группа, квадратичная форма.

Учебно-методическое объединение по образованию в области информационной безопасности, г. Москва, Россия Изучены условия однозначности разложения булевой функции в простую бесповторную декомпозицию при линейной замене переменных. Вводится понятие подпространства существенных переменных. Найдены условия, при выполнении которых каждое из двух подпространств существенных переменных функций-компонент в простой декомпозиции функции с тривиальной группой инерции в группе сдвигов однозначно определяет другое. Рассмотрен также случай итеративной декомпозиции. Ключевые слова: булевы функции, сопряжённое пространство, простая декомпозиция, итеративная декомпозиция.

Рассматривается множество разложений двоичной функции в сумму функций от непересекающихся множеств переменных при различных линейных преобразова-ниях аргументов. Каждому такому разложению соответствует разложение век-торного пространства в прямую сумму подпространств. Приведены условия, при которых такое разложение определяется однозначно с точностью до перестановки подпространств между собой.Ключевые слова: двоичные функции, разложение в прямую сумму, линейное преобразование.Пусть F n = {f : V n → GF(2)} множество двоичных функций от n переменных, n 1, V n = GF(2) n рассматривается как векторное пространство над полем GF(2), H n группа сдвигов пространства V n . Для каждого целого s 0 определим подпро-странство U s = {f : deg f s} пространства функций F n , имеющих ограниченную степень нелинейности (не больше s). Заметим, что U 0 = {0, 1}. При s < 0 поло-жим U s = {0} нулевое подпространство. Обозначим (H n )