Распределение длины га-го максимального цикла случайной ^-подстановки © 2005 г. А. Л. Якымив Пусть S n-симметрическая группа подстановок степени л, А-некоторое под множество множества натуральных чисел N и Т п = Т п (А)-совокупность всех под становок из S n , длины циклов которых принадлежат множеству А. Подстановки из Т п принято называть А-подстановками. Рассматривается широкий класс множеств А асимптотической плотности о > 0. В статье получены предельные распределения для №т(п)/п при п-* оо и фиксированном т е N, где /л т (п)-длина т-го максимального цикла случайной подстановки, равномерно распределенной на Т п. Показано, что эти предельные распределения совпадают с предельными распределениями соответству ющих функционалов от случайных подстановок из S n в известной неравновероятной модели Эвенса с параметром о. Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследова ний, проект 05-01-00583, и программы Президента Российской Федерации поддержки ведущих научных школ, грант НШ-1758.2003.1.

^ Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант №05-01-00583) и гранта прези дента РФ по поддержке ведущих научных школ НШ-4129.2006.1.

Дискретная математика том 12 ВЫПУСК 4 * 2000 УДК 519.2 О подстановках с длинами циклов из случайного множества © 2000 г. А. Л. Якымив Пусть fi,... , £ п , • •.-последовательность независимых бернуллиевых слу чайных величин, принимающих значение 1 с вероятностью а 6 (0,1]. По этой последовательности построим случайное множество А С N-{1,2,3,...} сле дующим образом: число п £ N включается в А тогда и только тогда, когда £ п = 1. Через Т п = Т п (А) обозначим множество подстановок степени п, длины циклов которых принадлежат множеству А. В статье находится асимптотика при п-> оо числа элементов множества Т п (А). Этот результат подтверждает гипотезу, высказанную В. Ф. Колчиным в 1989 году на семинаре в Матема тическом институте им. В. А. Стеклова. При каждом фиксированном А на Т п (А) задается равномерное распределение. В этом случае получены предель ные теоремы для числа циклов, общего и фиксированной длины, в случайной подстановке из Т п (А). Ранее аналогичные задачи решались для различных классов детерминиро ванных множеств А. Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных ис следований, гранты 00-15-96136 и 00-01-00090.

Рассматривается случайная подстановка n , равномерно распределенная на множестве всех подстановок степени n, длины циклов которых принадлежат фиксированному множеству A (так называемых A-подстановок). Предполагается, что множество A имеет асимптотическую плотность > 0, причем jkW k 6 n; k 2 A; m k 2 Aj=n ! 2 при n ! 1 равномерно по m 2 OEn; C n для произвольной постоянной C > 1. Порядком подстановки называется минимальная степень, в которой она равна тождественной подстановке. Пусть Z n-порядок случайной подстановки n. В настоящей статье показано, что случайная величина ln Z n асимптотически нормальна со средним l.n/ D P k2A.n/ ln.k/=k и дисперсией ln 3 .n/=3, где A.n/ D fkW k 2 A; k 6 ng. Полученный результат обобщает известную теорему П. Эрдёша и П. Турана, где рассматривается равномерное распределение на всей симметрической группе подстановок S n (то есть, при A, совпадающим с множеством натуральных чисел). Работа написана при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (

No abstract