УДК 519.7Бент-функции из конечной абелевой группы в конечную абелеву группуВводятся понятия абсолютно негомоморфной функции, минимальной (ми нимально близкой к гомоморфизмам) функции и бент-функции. Доказывается совпадение класса бент-функций с классом абсолютно негомоморфных функ ций, однозначность определения функции ее расстояниями до гомоморфизмов со сдвигами, абсолютная минимальность бент-функций для примарного слу чая.

We introduce the notions of an absolutely non-homomorphic function, a minimal function (farthest from homomorphisms) and a bent function, and prove that the class of bent functions coincides with the class of absolutely non-homomorphic functions, a function is uniquely determined by the distances to homomorphisms with shifts, and that in the primary case the bent functions are absolutely minimal.

Работа посвящена описанию всех гомоморфизмов регистров сдвига над конечными полями с подстановочной по входной переменной функцией обратной связи в линейные автоматы. Доказывается, что линейный автомат, который является гомоморфным образом регистра сдвига, изоморфен линейному регистру сдвига. Тем самым по ранее полученной автором теореме вопрос о гомоморфизмах регистров сдвига в линейные автоматы сводится к вопросу о разложении функции (или представляющего ее многочлена) в так называемую сдвиг-композицию двух функций (многочленов), из которых левая функция является аффинной. Доказывается также, что всякий многочлен однозначно представляется в виде суммы сдвиг-композиций линейных многочленов и одночленов с первой переменной. Этим линейным многочленам ставятся в соответствие многочлены от одной переменной, и вопрос о разложении сводится к поиску общих делителей последних. Указываются некоторые простые условия, достаточные для отсутствия нетривиальных внутренних гомоморфизмов регистра сдвига в линейные автоматы.

No abstract

Гомоморфизмы двоичных регистров сдвига © 2005 г. В. И. Солодовников В работе рассматриваются гомоморфизмы двоичных регистров сдвига с линейной по входной переменной функцией обратной связи, то есть гомоморфизмы автоматов, вырабатывающих двоичные линейно управляемые усложненные рекуррентные после довательности. Доказывается, что всякий гомоморфизм такого регистра разлагается в композицию гомоморфизма на регистр и некоторого гомоморфизма, близкого к изо морфизму. При описании этого разложения основную роль играет некая операция, распространяющая операцию произведения многочленов на множество всех двоич ных функций. Вопрос о гомоморфизмах регистра сводится к вопросу о поиске общих делителей его функции обратной связи и выходной функции. В работе приняты следующие обозначения: V n-множество всех двоичных строк длины п, п > 0; F n-множество всех двоичных функций п переменных JCI, ... , х п (функции из F n мы будем отождествлять с представляющими их многочленами Жегалкина); F* xмножество всех линейных по последней (то есть по (п + 1)-й) переменной функций из F"+i, то есть функций вида / = /* Ф* и +ь где /* € F n. Через i/f(p обозначается композиция отображений \fr и ср, при которой отображение ц> действует первым. Аналогично, В А-последовательное соединение автоматов А и В, при котором выход автомата А подается на вход автомата В. Следуя терминологии работы [1], двоичным регистром сдвига длины п с функцией обратной связи / и выходной функцией Л, где /, h e F n+{ , будем называть автомат