Гомоморфизмы Двоичных Регистров Сдвига

Abstract

Гомоморфизмы двоичных регистров сдвига © 2005 г. В. И. Солодовников В работе рассматриваются гомоморфизмы двоичных регистров сдвига с линейной по входной переменной функцией обратной связи, то есть гомоморфизмы автоматов, вырабатывающих двоичные линейно управляемые усложненные рекуррентные после довательности. Доказывается, что всякий гомоморфизм такого регистра разлагается в композицию гомоморфизма на регистр и некоторого гомоморфизма, близкого к изо морфизму. При описании этого разложения основную роль играет некая операция, распространяющая операцию произведения многочленов на множество всех двоич ных функций. Вопрос о гомоморфизмах регистра сводится к вопросу о поиске общих делителей его функции обратной связи и выходной функции. В работе приняты следующие обозначения: V n-множество всех двоичных строк длины п, п > 0; F n-множество всех двоичных функций п переменных JCI, ... , х п (функции из F n мы будем отождествлять с представляющими их многочленами Жегалкина); F* xмножество всех линейных по последней (то есть по (п + 1)-й) переменной функций из F"+i, то есть функций вида / = /* Ф* и +ь где /* € F n. Через i/f(p обозначается композиция отображений \fr и ср, при которой отображение ц> действует первым. Аналогично, В А-последовательное соединение автоматов А и В, при котором выход автомата А подается на вход автомата В. Следуя терминологии работы [1], двоичным регистром сдвига длины п с функцией обратной связи / и выходной функцией Л, где /, h e F n+{ , будем называть автомат

Linear decomposition of discrete functions in terms of shift-composition operation

“…Множество L q всех функций, представимых линейными, но не аффинными многочленами над F q [1,2,4]. Подразумевая этот изоморфизм, далее будем формулировать известные понятия и использовать известные утверждения о делимости многочленов применительно к линейным функциям.…”

Линейное Разложение Дискретных Функций В Терминах Операции Сдвиг-Композиции

“…множество всех q-значных функций, представимых линейными, но не аффинными многочленами (см. [4][5][6]).…”

Гомоморфизмы Регистров Сдвига В Линейные Автоматы

“…Это автоматы, вырабатывающие управляемые (то есть в общем случае зависящие от входа) усложненные (некоторой выходной функцией) рекуррентные последовательности. В [2] доказано, что всякий гомоморфизм двоичного регистра сдвига с линейной по входной переменной функцией обратной связи разлагается в композицию гомоморфизма на регистр и некоторого гомоморфизма, близкого к изоморфизму. При описании этого разложения основную роль играет некая бинарная некоммутативная операция на функциях (называемая здесь сдвиг-композицией).…”

“…Как и в [2], автомат R.h; f / D .X; X n ; X; ; /, у которого функция переходов и функция выходов определяются равенствами ..x 1 ; : : : ; x n /; x/ D .x 2 ; : : : ; x n ; f .x 1 ; : : : ; x n ; x//;…”

“…Следующая теорема сводит описание всех гомоморфизмов регистра на регистр с подстановочными по входной переменной функциями обратной связи к описанию разложений функций в сдвиг-композицию (см. [2]).…”