Гомоморфизмы Регистров Сдвига В Линейные Автоматы

Abstract

Работа посвящена описанию всех гомоморфизмов регистров сдвига над конечными полями с подстановочной по входной переменной функцией обратной связи в линейные автоматы. Доказывается, что линейный автомат, который является гомоморфным образом регистра сдвига, изоморфен линейному регистру сдвига. Тем самым по ранее полученной автором теореме вопрос о гомоморфизмах регистров сдвига в линейные автоматы сводится к вопросу о разложении функции (или представляющего ее многочлена) в так называемую сдвиг-композицию двух функций (многочленов), из которых левая функция является аффинной. Доказывается также, что всякий многочлен однозначно представляется в виде суммы сдвиг-композиций линейных многочленов и одночленов с первой переменной. Этим линейным многочленам ставятся в соответствие многочлены от одной переменной, и вопрос о разложении сводится к поиску общих делителей последних. Указываются некоторые простые условия, достаточные для отсутствия нетривиальных внутренних гомоморфизмов регистра сдвига в линейные автоматы.

Linear decomposition of discrete functions in terms of shift-composition operation

“…Множество L q всех функций, представимых линейными, но не аффинными многочленами над F q [1,2,4]. Подразумевая этот изоморфизм, далее будем формулировать известные понятия и использовать известные утверждения о делимости многочленов применительно к линейным функциям.…”

“…Следствие 1 [2]. Произвольная функция f ∈ F q однозначно представляется в виде f = x s l g, где x s крайняя левая переменная, от которой f зависит существенным образом; l ∈ L q унитарная по переменной x 0 ; g линейно неприводимая слева.…”

“…В работах перечисленных авторов в разной степени общности и направленности достаточно подробно исследована связь между представлением функции f в виде сдвигкомпозиции f = g h и существованием гомоморфизма регистра сдвига, соответствующего функции f , на меньший регистр сдвига, соответствующий функции g (все основные результаты по данной тематике единым образом изложены в [1]). Так, например, в [2] описаны все возможные представления функции f над конечным полем F q в виде f = l g, где l линейная, что позволило указать все возможные гомоморфизмы регистра сдвига с обратной связью f на линейные регистры сдвига.…”

Линейное Разложение Дискретных Функций В Терминах Операции Сдвиг-Композиции

“…множество всех q-значных функций, представимых линейными, но не аффинными многочленами (см. [4][5][6]).…”

“…В работах перечисленных выше авторов в разной степени общности и направленности достаточно подробно исследована связь между представлением функции f в виде f = g h и существованием гомоморфизма, отображающего регистр сдвига, соответствующий функции f , на меньший регистр сдвига, соответствующий функции g (все основные результаты по данной тематике единым образом изложены в книге [6]). Так, например, В. И. Солодовников [5] описал все возможные представления функции f над конечным полем F q в виде f = l g, где l ∈ L q , что позволило указать все возможные гомоморфизмы регистра сдвига с обратной связью f на линейные регистры сдвига.…”