В работе В. М. Бухштабера и Д. В. Лейкина, опубликованной в 2004 г. в журнале «Функциональный анализ и его приложения», для каждого $g > 0$ определена система из $2g$ многомерных уравнений Шрeдингера в магнитных полях с квадратичными потенциалами. Такие системы эквивалентны системам уравнений теплопроводности в неголономном репере. Доказано, что такая система определяет сигма-функцию универсальной гиперэллиптической кривой рода $g$. Введена полиномиальная алгебра Ли, образующими которой являются $2g$ операторов Шрeдингера $Q_0, Q_2,…, Q_{4g-2}$. В данной работе для каждого $g > 0$ получен явный вид операторов $Q_0$, $Q_2$, $Q_4$ и рекуррентные формулы для $Q_{2k}$ при $k>2$, выражающие эти операторы как элементы полиномиальной алгебры Ли при помощи скобок Ли операторов $Q_0$, $Q_2$ и $Q_4$. В качестве приложения получен явный вид операторов $Q_0, Q_2,…, Q_{4g-2}$ при $g = 1,2,3,4$.

No abstract

Рассматриваются однородные полиномиальные динамические системы в n-мерном пространстве. Каждой такой системе наша конструкция сопоставляет нелинейное обыкновенное дифференциальное уравнение и алгоритм построения решения уравнения теплопроводности. При этом классическое решение, задаваемое функцией Гаусса, соответствует случаю n = 0, а решения, определенные эллиптической тета-функцией, приводят к уравнению Шази-3 и соответствуют случаю n = 2. Дается явное описание семейства обыкновенных дифференциальных уравнений, возникающих в нашем подходе, а также связь с широко известными квадратичными динамическими системами Дарбу-Альфана и их обобщениями.

В работе определена параметрическая иерархия Кортевега-де Фриза, зависящая от бесконечного набора градуированных параметров $a = (a_4,a_6,…)$. Показано, что для любого рода $g$ гиперэллиптическая функция Клейна $\wp_{1,1}(t,\lambda)$, определенная на основе многомерной сигмa-функции $\sigma(t, \lambda)$, где $t = (t_1, t_3,…, t_{2g-1})$, $\lambda = (\lambda_4, \lambda_6,…, \lambda_{4 g + 2})$, задает решение этой иерархии, в которой параметры $a$ заданы в виде полиномов от параметров $\lambda$ сигма-функции. Доказательство использует результаты о семействе операторов, введенных В. М. Бухштабером и С. Ю. Шориной. Это семейство состоит из $g$ дифференциальных операторов третьего порядка от $g$ переменных. Такие семейства определены для всех $g \geqslant 1$, в каждом из них операторы коммутируют попарно, а также коммутируют с оператором Шрeдингера. В настоящей работе описана связь этих семейств с параметрической иерархией Кортевега-де Фриза. Построено аналогичное бесконечное семейство операторов третьего порядка от бесконечного набора переменных. Полученные результаты распространены на случай такого семейства.

No abstract