В работе получены асимптотические формулы при $x\to \infty$ для фундаментальной системы решений уравнения вида \begin{equation*} l(y): = (-1)^n(p(x)y^{(n)})^{(n)}+q(x)y=\lambda y, \qquad x\in [1,\infty), \end{equation*} где локально суммируемая функция $p$ допускает представление $$ p(x) = (1+r(x))^{-1},\qquad r\in L^1(1,\infty), $$ а $q$ - обобщенная функция, представимая при некотором фиксированном $k$, $0\leqslant k\leqslant n$, в виде $q= \sigma^{(k)}$, где $$ \begin{aligned} \sigma &amp;\in L^1(1,\infty), \qquad если\quad k <n, |\sigma|(1+|r|) (1+ |\sigma|) &amp;\in L^1(1,\infty), \qquad если\quad k = n. \end{aligned} $$ Аналогичные результаты получены для функций, допускающих при некотором фиксированном $k$, $0\leqslant k\leqslant n$, представление $$ p(x) = x^{2n+\nu}(1+ r(x))^{-1},\qquad q= \sigma^{(k)},\qquad \sigma(x)=x^{k+\nu} (\beta +s(x)), $$ где функции $r$ и $s$ удовлетворяют некоторым условиям интегрального убывания. Получены также теоремы об индексах дефекта минимального симметрического оператора, порожденного дифференциальным выражением $l(y)$ (при условии вещественности функций $p$ и $q$), и теоремы о спектрах соответствующих самосопряженных расширений. Полные доказательства даны только для случая $n=1$. Библиография: 18 названий.

No abstract

Пусть $a_1,a_2,…,a_n$ и $\lambda$ - комплексные числа, $p_1,p_2,…,p_n$ - комплекснозначные измеримые на $\mathbb R_+$ ($:=[0,+\infty)$) функции такие, что $$ |p_1|+(1+|p_2-p_1|)\sum_{j=2}^n|p_j| \in L^1_{\mathrm{loc}}(\mathbb R_+). $$ В настоящей работе предложена конструкция, позволяющая при выполнении этого условия корректно определить дифференциальное уравнение $$ y^{(n)}+(a_1+p_1(x))y^{(n-1)} +(a_2+p'_2(x)) y^{(n-2)}+\dotsb +(a_n+p'_n(x))y=\lambda y, $$ где все производные понимаются в смысле теории распределений. Используя эту конструкцию, установлено, что главный член асимптотики при $x\to +\infty$ фундаментальной системы решений этого уравнения и их производных определяется, как и в классическом случае, по корням многочлена $$ Q(z)=z^n+a_1 z^{n-1}+\dotsb+a_n-\lambda, $$ если функции $p_1,p_2,…,p_n$ удовлетворяют определенным условиям интегрального убывания на бесконечности. Отдельно и более подробно рассмотрен случай, когда $a_1=\dotsb=a_n=\lambda=0$. Библиография: 14 названий.

В работе получены асимптотические формулы при $x\to\infty$ для фундаментальной системы решений уравнения вида $$ l(y):=(-1)^n(p(x)y^{(n)})^{(n)}+q(x)y=\lambda y,\qquad x\in[1,\infty), $$ где локально суммируемая функция $p$ допускает представление $$ p(x)=(1+r(x))^{-1},\qquad r\in L^1 [1,\infty), $$ а $q$ - обобщенная функция, представимая при некотором фиксированном $k$, $0\le k\le n$, в виде $q=\sigma^{(k)}$, где \begin{alignat*}{2} \sigma&amp;\in L^1[1,\infty),&amp;\qquad &amp;если k<n, |\sigma|(1+|r|)(1+|\sigma|)&amp;\in L^1[1, \infty), &amp;\qquad &amp;если k=n. \end{alignat*} Аналогичные результаты получены для уравнений $l(y)=\lambda y$, коэффициенты $p(x)$ и $q(x)$ которых допускают при некотором фиксированном $k$, $0\le k\le n$, представление $$ p(x)=x^{2n+\nu}(1+r(x))^{-1},\qquad q=\sigma^{(k)},\quad \sigma(x)=x^{k+\nu}(\beta+s(x)), $$ где функции $r$ и $s$ удовлетворяют некоторым условиям интегрального убывания. Получены также теоремы об индексах дефекта минимального симметрического оператора, порожденного дифференциальным выражением $l(y)$ (при условии вещественности функций $p$ и $q$), и теоремы о спектрах соответствующих самосопряженных расширений. Библиография: 19 названий.

No abstract