Billiard books realize all bases of Liouville foliations of integrable Hamiltonian systems

Abstract

В работе рассматривается обобщение математического биллиарда, ограниченного дугами софокусных квадрик, называемое биллиардными книжками. Биллиардные книжки задают большой класс интегрируемых гамильтоновых систем. В связи с этим возникает вопрос о возможности реализации интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы биллиардными книжками. Ранее авторами было доказано, что для любой невырожденной трехмерной бифуркации ($3$-атома) алгоритмически строится биллиардная книжка, в которой возникает такая бифуркация. Опираясь на предыдущий результат, в статье авторы приводят доказательство того, что по любой базе слоения Лиувилля (грубой молекуле) алгоритмически строится биллиардная книжка такая, что база слоения Лиувилля этой системы изоморфна заданной изначально. Библиография: 15 названий.

Realization of Integrable Hamiltonian Systems by Billiard Books

“…Гипотеза B также верна. В работе [40] В. В. Ведюшкиной и И. С. Харчевой был предложен алгоритм построения биллиардной книжки по произвольной выбранной грубой молекуле (инвариантом базы слоения Лиувилля). Полученный алгоритм обсуждается в разделе 2.2 и применяется к реализации известной системы Жуковского из динамики твердого тела.…”

“…В статье [40] доказана следующая теорема. В данном параграфе приведем наглядную реализацию грубой молекулы с помощью биллиардных книжек для случая Н. Е. Жуковского динамики твердого тела.…”

“…В итоге, в новой книжке на уровне Λ = λ образовалось два движения:↓ 1 ↑ 2 ↓ 3 ↑ 4 ↓ 2 ↑ 1 и ↓ 4 ↑ 3 .Это означает, что тор, соответствующий одному из верхних ребер 3-атома B 2 , приклеился к тору, соответствующему верхнему ребру 3-атома B 1 .Таким образом, склейка биллиардных книжек B 1 и B 2 дала склейку двух молекул между собой.Замечание 2.8. В работе[40] предъявлен алгоритм, который позволяет реализовывать любую грубую молекулу (не только описанную выше конкретную молекулу W ). Он описывает, как нужно склеивать между собой биллиардные книжки по верхней границе в случае произвольных 3-атомов (f -графов), встречающихся в молекуле.…”

Modeling of degenerate peculiarities of integrable billiard systems by billiard books

“…В. В. Ведюшкиной и И. С. Харчевой удалось доказать, что произвольные невырожденные особенности слоения Лиувилля, называемые также боттовскими 3-атомами [4,5], и любая база слоения Лиувилля [6], классифицирующим инвариантом которой является молекула (инвариант Фоменко) граф с вершинами-атомами без меток, реализуются алгоритмически задаваемыми бильярдными книжками (см. [1,2] и [7] соответственно). Также подходящими бильярдами реализуются произвольные значения числовых меток [8][9][10] и разнообразные классы гомеоморфности неособых поверхностей постоянной энергии [11,12] и инвариантов Фоменко-Цишанга молекул с числовыми метками [13][14][15]2].…”