Convergence Analysis of the Inexact Infeasible Interior-Point Method for Linear Optimization

Al-Jeiroudi, Ghussoun; Gondzio, Jacek

doi:10.1007/s10957-008-9500-5

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“…This is in contrast to the equivalent Schur complement formulation [7], which gives an inexact constraint preconditioner. As such, null-space preconditioners could be useful in optimization, where solution methods that remain on the constraint manifold are often required; see, e.g., [1]. Additionally, it is possible to use a projected CG or MINRES method in this case, as described in section 3.4.…”

Section: 3mentioning

confidence: 99%

Null-Space Preconditioners for Saddle Point Systems

Pestana¹,

Rees²

2016

SIAM J. Matrix Anal. & Appl.

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Abstract. The null-space method is a technique that has been used for many years to reduce a saddle point system to a smaller, easier to solve, symmetric positive definite system. This method can be understood as a block factorization of the system. Here we explore the use of preconditioners based on incomplete versions of a particular null-space factorization and compare their performance with the equivalent Schur complement based preconditioners. We also describe how to apply the nonsymmetric preconditioners proposed using the conjugate gradient method (CG) with a nonstandard inner product. This requires an exact solve with the (1,1) block, and the resulting algorithm is applicable in other cases where Bramble-Pasciak CG is used. We verify the efficiency of the newly proposed preconditioners on a number of test cases from a range of applications.

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Section: 3mentioning

confidence: 99%

Null-Space Preconditioners for Saddle Point Systems

Pestana¹,

Rees²

2016

SIAM J. Matrix Anal. & Appl.

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“…As análises dos métodos de pontos interiores inexatos mostram que se o erro residualé controlado, aindaé possível calcular uma boa direção de busca em cada iteração [1][2][3]15].…”

Section: Método De Pontos Interiores Primal-dualunclassified

Sistemas Lineares Aproximados Derivados de Problemas de Fluxo Multiproduto em Métodos de Pontos Interiores

Tsuchiya

Oliveira

2017

Tend. Mat. Apl. Comput.

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RESUMO.Uma das abordagens utilizadas para resolver o sistema linear que surge a cada iteração nos métodos de pontos interiores primal-dualé reduzi-lo a um sistema linear equivalente simétrico definido positivo, conhecido como sistema de equações normais, e aplicar a fatoração de Cholesky na matriz do sistema. A grande desvantangem desta abordagemé o preenchimento gerado durante a fatoração, o que pode tornar seu uso inviável, por limitação de tempo e memória. Com o intuito de contornar o problema de preenchimento gerado na fatoração de Cholesky, neste trabalho, estamos propondo uma abordagem que resolve de forma direta sistemas lineares aproximados do sistema de equações normais derivados de problemas de fluxo multiproduto e que exerce um certo controle sobre o preenchimento. Palavras-chave:Método de pontos interiores primal-dual, Fatoração de Cholesky, Sistema de Equações Normais. INTRODUÇÃOUm Problema de Programação Linear (PPL) consiste em encontrar uma solução que satisfaz equações e/ou inequações lineares e que simultaneamente maximize ou minimize uma função linear denominada função objetivo.Em sua forma padrão este problemaé dado porem que Aé uma matriz de ordem m × n, x ∈ R n , b ∈ R m , c ∈ R n e c T xé a função objetivo do problema que deve ser minimizada.

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“…Desta forma, a resolução do sistema se torna mais rápida nas iterações iniciais, já que haverá uma economia de tempo tanto no cálculo dos elementos do fator incompleto, quanto na resolução dos dois sistemas triangulares. 5 …”

Section: Nova Abordagem Na Solução Direta Do Sistema De Equações Normaisunclassified

“…A consequência de se resolver o sistema de Newton que surge nos MPI por um método iterativoé o surgimento de um erro residual do lado direito da equação, mas se este erro satisfazer certas condições em cada iteração, aindaé possível calcular uma boa direção no sentido de que a convergência do métodoé atingida [5,6].…”

unclassified

Sistemas Lineares Aproximados em Métodos de Pontos Interiores

Tsuchiya¹,

Oliveira²

2017

Proceeding Series of the Brazilian Society of Computational and Applied Mathematics

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Resumo. Uma das abordagens utilizadas para resolver o sistema linear que surge a cada iteração nos métodos de pontos interiores primal-dualé reduzi-lo a um sistema linear equivalente simétrico definido positivo, conhecido como sistema de equações normais, e aplicar a fatoração de Cholesky na matriz do sistema. A grande desvantangem desta abordagemé o preenchimento gerado durante a fatoração, o que pode tornar seu uso inviável, por limitação de tempo e memória. Com o intuito de contornar o problema de preenchimento gerado na fatoração de Cholesky, neste trabalho, estamos propondo uma abordagem que resolve de forma direta sistemas lineares aproximados do sistema de equações normais e que exerce um certo controle sobre o preenchimento.Palavras-chave. Programação linear, Método de pontos interiores primal-dual , Fatoração de Cholesky, Fatoração controlada de Cholesky, Sistema de equações normais. IntroduçãoUm problema de programação linear na forma padrão e o seu problema dual associado são dados respectivamente porem que A m×né uma matriz de posto completo e c, x, b, y e z são vetores colunas de dimensões apropriadas.Os métodos de pontos interiores (MPI) primal-dual, encontram uma soluçãoótima (x * , y * , z * ) para o par de problemas acima, aplicando variações do método de Newtoǹ as três igualdades das condições de otimalidade: Ax = b, A T y + z = c, XZe = 0 e (x, z) > 0 [1].

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Convergence Analysis of the Inexact Infeasible Interior-Point Method for Linear Optimization

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Null-Space Preconditioners for Saddle Point Systems

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