Convex projective structures on Gromov–Thurston manifolds

Kapovich, Michael

doi:10.2140/gt.2007.11.1777

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“…Kapovich et Benoist ont construit en toute dimension n ⩾ 4 (Benoist pour n = 4 dans [Ben06b] et Kapovich pour n ⩾ 4 dans [Kap07]) des convexes divisibles non homogènes, strictement convexes et non quasi-isométriques à l'espace hyperbolique H n .…”

Section: Introductionunclassified

Exemples de variétés projectives strictement convexes de volume fini en dimension quelconque

Marquis¹

2012

Enseign. Math.

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Résumé. -Nous construisons des exemples de variétés projectives Ω Γ proprement convexes de volume fini, non hyperbolique, non compacte en toute dimension n ⩾ 2. Ceci nous permet au passage de construire des groupes discrets Zariski-dense de SL n+1 (R) qui ne sont ni des réseaux de SL n+1 (R), ni des groupes de Schottky. De plus, l'ouvert proprement convexe Ω est strictement convexe, même Gromov-hyperbolique.Abstract. -We build examples of properly convex projective manifold Ω Γ which have finite volume, are not compact, nor hyperbolic in every dimension n ⩾ 2. On the way, we build Zariski-dense discrete subgroups of SL n+1 (R) which are not lattice, nor Schottky groups.Moreover, the open properly convex set Ω is strictly-convex, even Gromov-hyperbolic. IntroductionUne variété projective proprement convexe est le quotient d'un ouvert ouvert proprement convexe Ω de l'espace projectif réel P n = P n (R) par un sous-groupe discret sans torsion Γ de SL n+1 (R) qui préserve Ω. Lorsque le quotient Ω Γ est compact, ces variétés ont été beaucoup étudiés durant ces dernières années. On pourra lire par exemple les articles suivants : [Ben03a,Ben04,Ben05,Ben06a,Cra09,Gol90]. Pour un survol de l'état du sujet en 2006, on pourra lire [Ben08].Un ouvert proprement convexe de l'espace projectif réel possède une distance (dite de Hilbert) et une mesure (dite de Busemann) invariantes par les transformations projectives qui le préservent. Nous détaillons ces points au paragraphe 1.1, passons plutôt à l'exemple essentiel.L'exemple le plus important d'ouvert proprement convexe est l'ellipsoïde. On considère la forme quadratique q(x 1 , ...., x n+1 ) = x 2 1 + ... + x 2 n − x 2 n+1 sur R n+1 . On note E la projection du cône de lumière de q (i.e. l'ensemble des points {x ∈ R n+1 q(x) < 0}) sur P n . Nous appelerons toute image par une transformation projective de l'ouvert E : un ellipsoïde. Muni de sa distance de Hilbert, un ellipsoïde est isométrique à l'espace hyperbolique réel H n . Il s'agit du modèle projectif de l'espace hyperbolique, que l'on appele parfois modèle de Beltrami-Klein. En particulier, cet ouvert est homogène, c'est-à-dire que le groupe Aut(Ω) = {γ ∈ SL n+1 (R) γ(Ω) = Ω} agit transitivement sur Ω. La figure 1 montre un pavage par une tuile compacte et un pavage par une tuile non compacte mais de volume fini du modèle projectif de l'espace hyperbolique. Théorème. -En toute dimension n ⩾ 2, il existe un couple (Ω n , Γ n ) où Ω n est un ouvert proprement convexe strictement convexe de P n et Γ n un sous-groupe discret de SL n+1 (R) qui préserve Ω n et tel que :⋅ Le quotient Ω n Γn est de volume fini.Le quotient Ω n Γn n'est pas compact. ∴ Le groupe Γ n est d'indice fini dans le groupe Aut(Ω). En particulier, l'ouvert proprement convexe Ω n n'est pas homogène.De plus, l'ouvert Ω n que l'on va construire sera Gromov-hyperbolique et le groupe Γ n sera Zariski-dense dans SL n+1 (R).Remarque 1.1. -Yves Benoist a montré dans [Ben04] que tout ouvert proprement convexe de P n Gromov-hyperbolique est strictement convexe. Karl...

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Section: Introductionunclassified

Exemples de variétés projectives strictement convexes de volume fini en dimension quelconque

Marquis¹

2012

Enseign. Math.

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“…Johnson et Millson ont construit en toute dimension n 2 des convexes divisibles irréductibles, strictement convexes et non homogènes ( [12]) en déformant des réseaux cocompacts de SO n,1 (R). Kapovich et Benoist ont construit (Benoist pour n = 4 dans [3] et Kapovich pour n 4 dans [14]) des convexes divisibles strictement convexes, non homogènes et non quasiisométriques à l'espace hyperbolique H n en toute dimension n 4.…”

Section: Annales De L'institut Fourierunclassified

Surface Projective Convexe de volume fini

Marquis¹

2012

Ann. inst. Fourier

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“…A convex projective structure therefore induces a representation, called the holonomy representation, identifying π 1 N with the discrete subgroup Γ ⊂ PGL n+1 R. Hyperbolic structures are special examples of convex real projective structures, but there are many non-hyperbolic manifolds that admit such structures as well. See Benoist [2,3] or Kapovich [30] for some examples. See Benoist [4] for a survey of the subject of convex projective structures on closed manifolds.…”

Section: Introductionmentioning

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Convex projective structures on nonhyperbolic three-manifolds

2018

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Y. Benoist proved that if a closed three-manifold M admits an indecomposable convex real projective structure, then M is topologically the union along tori and Klein bottles of finitely many sub-manifolds each of which admits a complete finite volume hyperbolic structure on its interior. We describe some initial results in the direction of a potential converse to Benoist's theorem. We show that a cusped hyperbolic three-manifold may, under certain assumptions, be deformed to convex projective structures with totally geodesic torus boundary. Such structures may be convexly glued together whenever the geometry at the boundary matches up. In particular, we prove that many doubles of cusped hyperbolic three-manifolds admit convex projective structures.

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Convex projective structures on Gromov–Thurston manifolds

Abstract: We study Gromov-Thurston examples of negatively curved n-manifolds which do not admit metrics of constant sectional curvature. We show that for each n > 3 some of the Gromov-Thurston manifolds admit strictly convex real-projective structures.53C15, 53C20; 20F06

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Exemples de variétés projectives strictement convexes de volume fini en dimension quelconque

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Surface Projective Convexe de volume fini

Convex projective structures on nonhyperbolic three-manifolds

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