Hurwitzsche Tern�rk�rper

Compact planes, mostly 8-dimensional. A retrospect

“…Assume that (R, +, •) is associative (and hence also commutative; equivalently, P can be coordinatized by a Hurwitz ternary field obtained from O by radial distorsion of the addition, cf. [60]). In this case, the multiplication • can be described as follows: let µ : [0, ∞) ≈ [0, ∞) with µ(1) = 1, put r * s = µ −1 (µ(r)•µ(s)) for r, s > 0 and a • x = |a| * |x| |ax| −1 ax for a, x = 0.…”

Topologische Ovale

“…In diesem Abschnitt konstruieren wir nun Beispiele ffir eine ganze Ebenenfamilie, n/imlich in den Ebenen fiber den ein-und zweidimensionalen Hurwitz-Tern/irkbrpern [31] mit kommutativer additiver Gruppe; wir werden zeigen, daB jede dieser Ebenen sowohl polare als auch nicht polare topologische Ovale enth/ilt. Gerade Hurwitz-Ternfirk6rper zu betrachten, wurde uns nahegelegt dutch ihre ~hnlichkeit mit den 'Ternaren', die entstehen, wenn man nach Artzy [1] eine Ebene an Hand eines in ihr enthaltenen Ovals koordinatisiert.…”

“…Im Kontrast hierzu konstruieren wit in den Ebenen fiber den nichtklassischen ein-und zweidimensionalen Hurwitzschen Tern~irk6rpern [31 ] mit kommutativer additiver Gruppe neben polaren Ovalen auch Beispiele von nicht polaren Ovalen ( §5). Damit ist auch dem Umstand abgeholfen, dab abgesehen vonder komplexen Ebene bisher nut in zweidimensionalen kompakten Ebenen konkrete Beispiele von abgeschlossenen Ovalen bekannt waren.…”

“…(5.1) Unter einem Hurwitz-Terniirk6rper verstehen wir mit[31] einen topologischen Tern/irk6rper K, der linear ist, dessen additive Loop assoziativ (also eine Gruppe) ist, und dessen multiplikative Loop isomorph ist zur multiplikativen Loop einer der vier klassischen Hurwitzschen Divisions° algebren. Die wie in allen Tern[irk6rpern geforderte Planarit/itsbedingung 1/iBt sich dann so aussprechen, dab ffir a ¢ b die Gleichung stets eindeutig nach x aufgel6st werden kann; auBerdem soil die L6sung stetig yon den Parametern abhfmgen.Wir wollen einen Hurwitz-Terniirk6rper K abelsch nennen, wenn seine Addition und Multiplikation kommutativ sind.…”