Strengthening of the Burgein-Kontorovich theorem on small values of Hausdorff dimension

Abstract

В настоящей работе доказано следующее. Пусть $\mathfrak{D}_\mathbf{A}(N) $ - множество не превосходящих $N$ несократимых знаменателей положительных рациональных чисел, представимых конечными цепными дробями, все неполные частные которых принадлежат конечному числовому алфавиту $\mathbf{A}$. Тогда для мощности $|\mathfrak{D}_\mathbf{A}(N)|$ доказана новая нижняя оценка, улучшение в нетривиальной части которой доходит до 28 процентов по сравнению с аналогичным предыдущим результатом. Так, при $\mathbf{A}=\{1,2\}$ из доказанной в статье формулы следует неравенство $|\mathfrak{D}_{\{1,2\}}(N)|\gg N^{0{,}531+0{,}024}$ с нетривиальной частью $0{,}024$. Аналогичный предыдущий результат автора относился к неравенству $|\mathfrak{D}_{\{1,2 \}} (N)|\gg N^{0{,}531+0{,}019}$. Расчет, производившийся по оригинальной теореме Бургейна-Конторовича в их статье 2011 г., давал ответ $|\mathfrak{D}_{\{1,2 \}}(N)|$ $\gg N^{0{,}531+0{,}006}$.