Topological classification of Liouville foliations for the Kovalevskaya integrable case on the Lie algebra $\operatorname{so}(4)$

Abstract

Исследуется топология слоения Лиувилля аналога интегрируемого случая Ковалевской на алгебре Ли $\operatorname{so}(4)$. Вычислены инварианты Фоменко-Цишанга (т.е. меченые молекулы) данного слоения на каждой неособой изоэнергетической поверхности. Подробно описана возникающая стратификация трехмерного пространства параметров изоэнергетических поверхностей. Библиография: 23 названия.

The reduction of the degree of integrals of hamiltonian systems with the help of billiards

“…Те о р е м а 1. Интегрируемые системы Ковалевской [1], Ковалевской-Яхьи [10], Ковалевской на алгебре Ли so(4) [11], Горячева-Чаплыгина-Сретенского [1], Соколова [12], Дуллина-Матвеева [13] Надо отметить, что в некоторых зонах энергии перечисленные системы иногда гладко лиувиллево эквивалентны другим системам с квадратичными интегралами. Однако эти гладкие редукции сводят интегралы больших степеней к, вообще говоря, разным интегралам степени 2.…”

Topology of isoenergy surfaces of Kovalevskaya integrable case on the Lie algebra so(4)

“…In [8] V.kibkalo calculated Fomenko-Zieshcang invariants for Liouville foliation on every regular isoenery manifold Q 3 a,b,h and described 3-dimensional connected sets of triples (a, b, h) in the space R 3 (a, b, h) that have the same invariants of their Liouville foliation. § 2.…”

“…Here we show how the topology of Q 3 a,b,h can be determined using the Fomenko's theory (see [5]). The Fomenko-Ziechang invariants (also known as labeled molecules) for the Kovalevskaya case on so(4) have been found in [8]. We will use notations from [8] in the statement and in the proof of the following theorem 1 .…”

“…Moreover, for each labeled molecule 1-32 from [8] the topological type of the corresponding Q 3 a,b,h is as in Table 1.…”

“…For instance, for the molecules A r = 0 A and A r = ∞ A the surface Q 3 is diffeomorhic to S 3 and S 1 × S 2 respectively. Thus we determine the topological type of molecules 1, 7, 11, 13, 31 from [8].…”