What Is a Post-Lie Algebra and Why Is It Useful in Geometric Integration

Curry, Charles; Ebrahimi‐Fard, Kurusch; Munthe-Kaas, Hans

doi:10.1007/978-3-319-96415-7_38

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“…Remark 1. We remark that identity (14) encodes backward error analysis for the forward exponential Euler method [11,21]. Indeed, the Lie-Euler integration scheme is the numerical method that approximates solutions of the initial value problem (21) below by following Lie group exponentials, i.e.,…”

Section: Proposition 4 [12]mentioning

confidence: 99%

“…In this article, we show that by an appropriate 'autonomization' the linear initial value problem (1) can be presented as a Lie group integration problem along the lines of [19]. In this context, post-Lie algebras [21,11] occur naturally replacing pre-Lie algebras. The classical Magnus expansion (2) is seen to be a special case of the so-called post-Lie Magnus expansion introduced in [11,12,13].…”

Section: Introductionmentioning

confidence: 99%

“…In this context, post-Lie algebras [21,11] occur naturally replacing pre-Lie algebras. The classical Magnus expansion (2) is seen to be a special case of the so-called post-Lie Magnus expansion introduced in [11,12,13]. This observation motivates to compare explicitly certain Runge-Kutta-Munthe-Kaas schemes with Magnus integrator schemes.…”

Section: Introductionmentioning

confidence: 99%

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The Magnus expansion and post-Lie algebras

2020

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Section: Proposition 4 [12]mentioning

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The Magnus expansion and post-Lie algebras

2020

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“…is called Lie bracket): [21] ≡ 0, (1.9) 14) in which a denotes the associator of a binary operation, i. e.,…”

Section: Free Operads and Algebraic Operadsmentioning

confidence: 99%

“…Just to mention a few examples, pre-Lie algebras play an important role in the approach of Connes and Kreimer to the theory of renormalization of qFT (see [12]) and in the Butcher theory of the geometric integration methods on R n [13]. In the attempt to extend these methods to more general homogeneous spaces, Munthe-Kaas introduced the so called Lie-Butcher series, [14], whose composition is ruled by a new category of non-associative algebraic structures, which were called post-Lie algebras. While a model example of a pre-Lie algebra is provided by (X(M), ∇), where X(M) is the vector space of vector fields defined on M and ∇ is a flat and torsion free connection on T M, the model example of a post-Lie algebra is the pair (X(M), ∇) where X(M) is as before and ∇ is now a flat and constant torsion linear connection.…”

Section: Introductionmentioning

confidence: 99%

A post-Lie operad of rooted trees

Silva¹

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ACKNOWLEDGEMENTSFor non portuguese speakers, I would like to justify why I prefer to write my acknowledgments in portuguese. Indeed, the reasons are very simple: first, for me nothing better then my mother language to talk about feelings, second, the most of people cited here are portuguese speakers.Redigir meus agradecimentos foi uma das partes subjetivas mais difíceis desse trabalho. Primeiro porquê em um processo tão longo quanto um doutorado é tanta gente que indiretamente contribuiu que fica difícil lembrar de todos. Segundo, porquê não tenho grandes habilidades na escrita. Assim, começo os agradecimentos me justificando caso o texto não fique lá essas coisas e/ou pedindo desculpas se esqueci de alguém.Uma vez livre da culpa, posso relaxar e de fato escrever alguns agradecimentos. Por uma questão cronológica, começo agradecendo à minha família baiana. Nem todos ajudaram na mesma medida, alguns mais e outros nem tanto... Mas enfim, o que não te mata fortalece. E cada um, à sua maneira, teve sua dose de contribuição. Nessa dose, destaco as mulheres da minha família: tias, avós, mãe. Mulheres que me deram exemplo de fibra e dignidade. Sem elas, talvez nem teria chegado onde cheguei.Quando moramos longe dos nossos familiares percebemos que o conceito de família é muito mais amplo do que se convenciona. Assim, dedico essa parte dos agradecimentos à minha família de sãocarlense: Nahara, Paulo, Cida, Eduardo e Joyce. Amigos queridos que considero como irmãos. E falando em amizades, apesar de não ser a pessoa mais sociável do planeta, fiz também novas amizades que pretendo cultivar: Dione, Mariana, Alex, Liliam e Jean. Vocês tornaram mais leves esses dias árduos de doutorado.Agradeço a Renan meu companheiro e dono do segundo melhor abraço do universo (o primeiro é de mainha). Um presente que o doutorado me trouxe, foi um ouvinte paciente e ativo. Afinal, perdi as contas de quantas vezes ele ouviu e me ajudou com as ideias para a tese.Ao meu orientador, Professor Igor, responsável por grande parte do meu recente amadurecimento profissional. Bons orientadores têm esse dom de nos reiventar.Aos professores que tive ao longo do curso: Irene, Behrooz, Grossi. Bem como a minha milagreira, ops, professora de inglês Élen. De cada um de vocês levo inspirações e bons exemplos.Aos professores Daniel, Alexandre e Cristián, pelas contribuições no meu trabalho e pela paciência, pois entendo que não foi uma leitura leve.A UESC, instituição onde trabalho, e ao ICMC que me deram a oportunidade de passar por essa experiência enriquecedora.ABSTRACT SILVA, P. S. F. A post-Lie operad of rooted trees. 2018. 93 p. Tese (Doutorado em Ciências -In this thesis we propose a description of the operad defining post-Lie algebras in terms of rooted trees and we discuss some applications of such a construction. In particular, we re-derive both the free post-Lie algebra defined in [22] and the main result of the paper [8]. Furthermore, a possible extension of the concept of symmetric brace algebra to the category of the post-Lie algebras is proposed.

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