No abstract

In the algebra P sΔ of pseudodifference operators, we consider two deformations of the Lie subalgebra spanned by positive powers of an invertible constant first-degree pseudodifference operator Λ0. The first deformation is by the group in P sΔ corresponding to the Lie subalgebra P sΔ<0 of elements of negative degree, and the second is by the group corresponding to the Lie subalgebra P sΔ ≤0 of elements of degree zero or lower. We require that the evolution equations of both deformations be certain compatible Lax equations that are determined by choosing a Lie subalgebra depending on Λ0 that respectively complements the Lie subalgebra P sΔ<0 or P sΔ ≤0 . This yields two integrable hierarchies associated with Λ0, where the hierarchy of the wider deformation is called the strict version of the first because of the form of the Lax equations. For Λ0 equal to the matrix of the shift operator, the hierarchy corresponding to the simplest deformation is called the discrete KP hierarchy. We show that the two hierarchies have an equivalent zero-curvature form and conclude by discussing the solvability of the related Cauchy problems.

Описаны два модуля алгебры Psd псевдодифференциальных операторов; для каждого из них определена ассоциированная система, из которой можно получить как условия совместности уравнения Лакса для строгой иерархии Кадомцева-Петвиашвили. На этих модулях построено множество билинейных уравнений, характеризующие решения строгой иерархии Кадомцева-Петвиашвили, которые получаются одеванием базисного образующего элемента алгебры Psd.Ключевые слова: интегрируемые деформации, псевдодифференциальные операторы, совместные уравнения Лакса, строгая иерархия Кадомцева-Петвиашвили, дуальные волновые функции, билинейная форма. ВВЕДЕНИЕХирота был первым, кто заметил [1], что многие явные уравнения солитонов могут быть записаны в определенной билинейной форме, которая теперь носит его имя. Эта форма помогла, например, найти многосолитонные решения и обратную задачу рассеяния для таких нелинейных эволюционных уравнений. Вскоре Сато и его ученики показали (см. работы [2], [3]), что уравнения многих интегрируемых иерархий, наиболее важная из которых -иерархия Кадомцева-Петвиашвили (КП), могут быть записаны в билинейной форме, эквивалентной набору билинейных уравнений Хироты для τ -функции(ий) иерархий. Другие авторы (см., например, монографию [4]) использовали эту форму как отправную точку при работе с уравнениями солитонов. Отметим, что ключевым инструментом в работах школы Сато на эту тему было билинейное тождество -формула, для которой важна сходимость (см. раздел 4 настоящей статьи).Работа частично поддержана государственной программой Министерства образования и науки Российской Федерации № 2014/285 (проект № 2476).

В алгебре $Ps\Delta$ псевдоразностных операторов рассмотрены две деформации подалгебры Ли, натянутые на положительные степени обратимого постоянного псевдоразностного оператора $\Lambda_0$ первой степени. Первая деформация осуществляется в $Ps\Delta$ группой, соответствующей подалгебре Ли $Ps\Delta_{<0}$ элементов отрицательной степени, а вторая - группой, соответствующей подалгебре Ли $Ps\Delta_{\leq 0}$ элементов нулевой степени или ниже. Рассмотрены деформации, эволюции которых описываются совместными системами уравнений Лакса, заданных выбором зависящей от $\Lambda_0$ подалгебры Ли, дополняющей подалгебры Ли $Ps\Delta_{<0}$ и $Ps\Delta_{\le 0}$ соответственно. Это приводит к двум интегрируемым иерархиям, связанным с $\Lambda_0$. Иерархия более широкой деформации называется строгой версией первой иерархии из-за формы уравнений Лакса. Когда матрица $\Lambda_0$ отвечает сдвигу, иерархия, соответствующая простейшей деформации, известна как дискретная иерархия Кадомцева-Петвиашвили. Показано, что обе иерархии допускают представление нулевой кривизны, исследована разрешимость сопутствующих задач Коши.

Deforming commutative algebras in the lower triangular (Z × Z)-matrices yields lower triangular Toda hierarchies and their associated nonlinear equations. Like for their counterpart in the ring of pseudodifferential operators, the KP-hierarchy, one also has for these hierarchies a geometric picture: certain infinite chains of subspaces in an separable Hilbert space provide solutions of lower triangular Toda hierarchies. The KP-hierarchy and its multi-component version contain many interesting subsystems, like e.g. the nth GelfandDickey hierarchy and the AKNS-hierarchy. In this paper one considers analogues of these two subsystems in the context of the lower triangular Toda hierarchies and a geometric description of solutions to both type reductions is given.