В первой части обзора дано современное изложение структуры кольца специальных унитарных бордизмов, включающее как классические геометрические методы Коннера-Флойда, Уолла и Стонга, так и технику спектральной последовательности Адамса-Новикова и формальных групп, в том числе результаты, полученные после фундаментальной работы С. П. Новикова 1967 г. Во второй части мы используем методы торической топологии для построения и описания геометрических представителей в классах $SU$-бордизма, включая торические и квазиторические многообразия, а также многообразия Калаби-Яу. Библиография: 56 названий.

Мы описываем структуру кольца коэффициентов $W^*(pt)=\varOmega_W^*$ теории $c_1$-сферических бордизмов для произвольного $SU$-билинейного умножения. Кроме того, мы доказываем точность по Ландвеберу формальной группы в теории $W^*$ для произвольного $SU$-билинейного умножения. Также мы показываем, что после обращения множества ${\mathcal P}$ простых чисел Ферма существует комплексная ориентация локализованной теории $W^*[{\mathcal P}^{-1}]$, для которой коэффициенты формальной группы порождают все кольцо коэффициентов $\varOmega_W^*[{\mathcal P}^{-1}]$. Библиография: 11 названий.