No abstract

Последнее время становится актуальным изучение (псевдо)римановых многообразий с различными афинными связностями, отличными от связности ЛевиЧивита. Метрическая связность с векторным кручением (также известная как полусимметрическая связность) является одной из часто рассматриваемых связностей. Связь между конформными деформациями римановых многообразий и метрическими связностями с векторным кручением на них была установлена в работах К. Яно. А именно, риманово многообразие допускает метрическую связность с векторным кручением, тензор кривизны которой равен нулю, тогда и только тогда, когда оно является конформно плоским. В данной работе впервые исследуется уравнение Эйнштейна на трехмерных локально симметрических (псевдо)римановых многообразиях с метрической связностью с инвариантным векторным кручением. Получена теорема о том, что все такие многообразия либо являются многообразиями Эйнштейна относительно связности Леви-Чивита, либо являются конформно плоскими. The study of (pseudo)Riemannian manifolds with different metric connections different from the Levi-Civita connection has become a subject of current interest lately. A metric connection with vectorial torsion (also known as a semi-symmetric connection) is a frequently considered one of them. The correlation between the conformal deformations of Riemannian manifolds and metric connections with vectorial torsion on them was established in the works of K. Yano. Namely, a Riemannian manifold admits a metric connection with vectorial torsion, the curvature tensor of which is zero, if and only if it is conformally flat. In this paper, we study the Einstein equation on three-dimensional locally symmetric (pseudo)Riemannian manifolds with metric connection with invariant vectorial torsion. We obtain a theorem stating that all such manifolds are either Einstein manifolds with respect to the Levi-Civita connection or conformally flat.

No abstract

Riemannian manifolds with a Levi-Civita connection and constant Ricci curvature, or Einstein manifolds, were studied in the works of many mathematicians. This question has been most studied in the homogeneous Riemannian case. In this direction, the most famous ones are the results of works by D.V. Alekseevsky, M. Wang, V. Ziller, G. Jensen, H.Laure, Y.G. Nikonorov, E.D. Rodionov and other mathematicians. At the same time, the question of studying Einstein manifolds has been little studied for the case of an arbitrary metric connection. This is primarily due to the fact that the Ricci tensor of metric connection is not, generally speaking, symmetric. In this paper, we consider semisymmetric connections on 3-dimensional Lie groups with a left-invariant Riemannian metric. For the symmetric part of the Ricci tensor, the Einstein equation is studied. As a result of the research carried out, a classification of 3-dimensional metric Lie groups and the corresponding semisymmetric connections in the case of the Einstein symmetric equation has been obtained. Earlier in the works of P.N. Klepikov, E.D. Rodionov and O.P. Khromova, the classical Einstein equation was studied, and it was proved that if the classical. The Einstein equation holds for a 3-dimensional Lie group with left-invariant (pseudo) Riemannian metric and semi-symmetric connection. Then, either the connection is a Levi-Civita connection, or the curvature tensor of the connection is equal to zero.

Важным обобщением эйнштейновых метрик на (псевдо)римановых многообразиях являются солитоны Риччи, которые впервые были рас-смотрены Р. Гамильтоном. Задача нахождения солитонов Риччи является достаточно сложной, поэтому предполагаются ограничения либо на строение многообразия, либо на размерность, либо на класс рассматриваемых метрик, либо на класс векторных полей, участвующих в за-писи уравнения солитона Риччи. Одним из важ-ных примеров такого рода ограничений являются 2-симметрические лоренцевы многообразия. Они изучены в работах А.С. Галаева, Д.В. Алексеев-ского и J.M. Senovilla. 2-симметрические локаль-но неразложимые лоренцевы многообразия обла-дают параллельным распределением изотропных прямых, т.е. являются многообразиями Уокера. Такие многообразия обладают специальной си-стемой координат, в которой уравнение солитона Риччи допускает локальное разрешение. В настоя-щей статье рассмотрено уравнение солитона Рич-чи на 2-симметрических локально неразложимых лоренцевых многообразиях. К. Онда и В. Батат исследовали солитоны Риччи на четырёхмерных 2-симметрических лоренцевых многообразиях и доказали локальную разрешимость уравнения со-литона Риччи на таких многообразиях. В данной работе найдено общее решение уравнения соли-тона Риччи на четырёхмерных 2-симметрических локально неразложимых лоренцевых многообра-зиях.Ключевые слова: солитоны Риччи, многообра-зия Уокера, лоренцевы многообразия. DOI 10.14258/izvasu(2017)4-23An important generalization of Einstein metrics on a (pseudo) Riemannian manifolds are Ricci solitons first discussed by R. Hamilton. The problem of finding Ricci solitons is quite difficult, so we assume the restriction of one of the following: the structure of the manifold, the dimension, the class of metrics, or a class of vector fields, participating in the Ricci soliton equation. The most important examples of such restrictions are 2-symmetric Lorentzian manifolds investigated by A.S. Galaaev, D.V. Alekseevskii, and J.M. Senovilla. 2-Symmetric locally indecomposable Lorentzian manifolds have parallel null-distribution, i.e. they are Walker manifolds. These manifolds have a special coordinate system, which allows us to solve Ricci soliton equation locally. In this paper, we investigate the Ricci soliton equation on 2-symmetric locally indecomposable Lorentzian manifolds. K. Onda and B. Batat investigated Ricci solitons on the four-dimensional 2-symmetric Lorentzian manifolds. Local solvability of the Ricci soliton equation on such manifolds was proven. In this paper, we obtain general solution of the Ricci soliton equation on fourdimensional 2-symmetric locally indecomposable Lorentzian manifolds.