У роботі розглядається математична модель задачі комбінаторної оптимізації з дробово-лінійною цільовою функцією на множині розміщень. Враховуючи, що задача дробово-лінійного програмування відрізняється від задачі лінійного програмування лише виглядом цільової функції, це дає можливість використовувати для її розв’язування відомі методи лінійного програмування за певної їх модифікації. Серед комбінаторних методів важливе значення як в практичному, так і теоретичному плані має метод гілок та меж. У роботі поширено метод гілок та меж для розв’язування задач оптимізації на розміщеннях з дробово-лінійною цільовою функцією та додатковими лінійними обмеженнями. Основними критеріями, що визначали ефективність методу при розв’язуванні конкретної задачі були спосіб обчислення оцінок та галуження. Алгоритм складається з двох етапів: спочатку перехід до релаксованої задачі (застосовуючи відповідне відображення переходимо від дробово-лінійної задачі оптимізації до лінійної), далі – модифікований метод гілок та меж, що ґрунтується на ідеях Ленда та Дойга. Комбінаторна умова, а саме, бути елементом множини розміщень, замінена системою обмежень, що описує загальний многогранник розміщень. В роботі, на основі властивостей застосованого до задачі з дробово-лінійною цільовою функцією відображення, доведено ряд тверджень, що лягли в основу методу розв’язування задачі. Зокрема, теорема про еквівалентність множин допустимих значень вихідної та релаксованої задач та теорема про оцінку допустимих областей задач, які є проміжними в процесі розв’язування. Запропонований алгоритм методу гілок та меж для розв’язування задач оптимізації на комбінаторній множині розміщень у випадку дробово-лінійної цільової функції видається доцільним надалі застосувати для розв’язування задач оптимізації з дробово-лінійною функцією цілі на інших множинах.

Задачі комбінаторної оптимізації на множині перестановок все частіше зустрічаються на практиці та потребують дослідження і розв’язання, тому постає необхідність розробки нових та модифікації вже існуючих методів для їх розв’язування. Мета роботи – запропонувати нові методи розв’язування задач комбінаторної оптимізації ігрового типу на множинах перестановок, побудувати алгоритм розв’язування таких задач. Провести аналіз його складності, зокрема, дати теоретичну оцінку методу. Методологія. Для створення алгоритму розв’язування задач комбінаторної оптимізації ігрового типу на перестановках з обмеженнями на стратегії одного гравця використовувалися методи комбінаторної оптимізації та математичного програмування. Наукова новизна. У рамках дослідження задач комбінаторної оптимізації ігрового типу було вивчено можливість використання монотонного ітераційного алгоритму для розв’язування даного класу задач на множинах перестановок. У роботі проведено опис алгоритму розробленого монотонного ітераційного методу для пошуку ціни гри для розв’язування задач комбінаторної оптимізації ігрового типу на множині перестановок з обмеженнями на стратегії одного гравця. Розглянутий монотонний ітераційний алгоритм включає одинадцять кроків і дозволяє знайти ціну гри, заданої матрицею довільної вимірності та множиною пронумерованих перестановок – стратегіями першого гравця. Проведено оцінку складності запропонованого алгоритму. Для зручності викладення матеріалу введено необхідні позначення та пояснення. При розрахунку складності алгоритму визначено асимптотичну верхню границю з точністю до постійного множника. Знайдено теоретичну оцінку часу роботи монотонного ітераційного методу. Результати дослідження сформульовано у вигляді теореми з послідовно викладеним обґрунтованим доведенням. Представлено ілюстративний приклад з метою застосування розробленого алгоритму. Детально розписано розв’язок завдання відповідно до кроків алгоритму. Проведено порівняння отриманого результату з розв’язками за іншими методами, зокрема, шляхом переходу від ігрової задачі комбінаторної оптимізації ігрового типу на множині перестановок до пари двоїстих задач лінійного програмування для матричної гри з платіжною матрицею та ітераційним методом. Підтверджено коректність отриманих результатів на основі співпадіння відповідей, отриманих трьома різними способами. Висновки. Монотонний ітераційний метод дає змогу швидко отримати значення ціни гри із заданою точністю та оптимальну стратегію першого гравця, причому, як було встановлено, кількість кроків методу слабко залежить від розмірності задачі. Розроблений алгоритм монотонного ітераційного методу дозволив провести порівняння результатів з раніше відомими методами для підтвердження їх коректності.

У роботі проаналізовано останні дослідження та публікації по управлінню якістю природнього середовища. Виявлено невирішені раніше питання та задачі прогнозування на перспективу. Запропоновано постановку задачі оптимального розміщення продуктивних сил з позиції мінімізації збитків для навколишнього середовища при нормальній експлуатації об’єкта. Побудовано математичну модель такої задачі у вигляді задачі з дробово-лінійною цільовою функцією, що представляє собою відношення загальних витрат промислового сектору регіону до загального прибутку. Детально обґрунтовано та наведено формули обчислення кожної компоненти функції загальних витрат промислового сектору регіону. Зокрема, представлені співвідношення для витрат у сфері постачання; витрат на виробництво; витрат у сфері збуту, витрат на управління виробничою системою. До функції загальних витрат враховано витрати природоохоронної сфери, що формуються за рахунок поточних та капітальних природоохоронних витрат. Еколого-економічний збиток, як складова частина функції загальних витрат, у виробничій сфері для окремого промислового вузла, включає наступні компоненти: можливий недоотриманий прибуток внаслідок незапланованого скорочення обсягів виробництва продукції; додаткові витрати; втрати, пов’язані з відшкодуванням збитків та витрати різного типу матеріальних ресурсів. Математична модель включає комбінаторну умову на кількості виготовленої продукції окремого виду на окремому промисловому об’єкті, коли значення змінних вибираються з комбінаторної множини розміщень. Модель також містить лінійні обмеження на загальну кількість конкретного типу продукції. На коефіцієнти, що визначають частку матеріальних ресурсів у загальному матеріальному потоці транспортного та складського господарств, накладаються додаткові умови. Побудована модель задачі вибору території під будівництво промислових об’єктів з метою мінімізації збитків для природнього середовища на рівні регіону, що враховує соціально-економічні потреби його населення та екологічну безпеку, може бути використана при плануванні та проектуванні.

Задачі комбінаторної оптимізації набувають усе більшого поширення на практиці. Це зумовлено тим, що велика кількість прикладних задач описується моделями, в яких розв’язок визначений на комбінаторних множинах. Розв’язування таких задач вимагає розробки нових або модифікації вже наявних методів, написання алгоритмів та їх програмної реалізації. Мета роботи – створити програмний продукт для розв’язування евклідових комбінаторних оптимізаційних задач точними та наближеними методами. При цьому важливим є врахування структури комбінаторних конфігурацій, зокрема, із застосуванням теорії графів. Важливим, окрім розробки нових математичних підходів, є врахування сучасного стану обчислювальної техніки – наявність потужних багатопроцесорних систем. Методологія. Для розробки програми було вибрано мову програмування високого рівня Object Pascal середовища програмування Delphi. Наукова новизна. У роботі проведено опис розробленого програмного комплексу, який реалізує методи для розв’язування задач комбінаторної оптимізації різними методами. Представлений програмний продукт дає змогу розв’язувати задачі лінійного програмування методом комбінаторного відсікання на основі алгоритму Кармаркара для умовних лінійних задач комбінаторної оптимізації на переставленнях. На відміну від відомих методів комбінаторного відсікання для задач на вершинно розташованих множинах, тут допоміжна задача лінійного програмування розв’язується не певною різновидністю симплекс-методу, а поліноміальним алгоритмом Кармаркара. Розроблений програмний продукт реалізує також другий метод комбінаторного відсікання в умовних лінійних задачах на вершинно розташованих множинах з виключенням виродженості в допоміжних задачах лінійного програмування. Також знайдено розв’язок задачі комбінаторної оптимізації модифікованим методом з можливістю приєднання необхідних обмежень та відкидання зайвих. Такий підхід дозволив значно збільшити вимірність задач, що можуть бути розв’язані. Висновки. Завдяки програмному комплексу стало можливим розв’язування комбінаторних задач оптимізації із застосуванням представлення комбінаторного многогранника у вигляді графа значних вимірностей. Створений програмний продукт дозволив провести чисельні експерименти всіма вище зазначеними методами для підтвердження їх практичної ефективності та коректності.