The Cyclic Nature of Problem Solving: An Emergent Multidimensional Problem-Solving Framework

Abstract

This paper describes the problem-solving behaviors of 12 mathematicians as they completed four mathematical tasks. The emergent problem-solving framework draws on the large body of research, as grounded by and modified in response to our close observations of these mathematicians. The resulting Multidimensional Problem-Solving Framework has four phases: orientation, planning, executing, and checking. Embedded in the framework are two cycles, each of which includes at least three of the four phases. The framework also characterizes various problem-solving attributes (resources, affect, heuristics, and monitoring) and describes their roles and significance during each of the problem-solving phases. The framework's sub-cycle of conjecture, test, and evaluate (accept/reject) became evident to us as we observed the mathematicians and listened to their running verbal descriptions of how they were imagining a solution, playing out that solution in their minds, and evaluating the validity of the imagined approach. The effectiveness of the mathematicians in making intelligent decisions that led down productive paths appeared to stem from their ability to draw on a large reservoir of well-connected knowledge, heuristics, and facts, as well as their ability to manage their emotional responses. The mathematicians' well-connected conceptual knowledge, in particular, appeared to be an essential attribute for effective decision making and execution throughout the problem-solving process.

Invited Lectures from the 13th International Congress on Mathematical Education

“…Experts usually have more robust mental imagery, more numerous images, and the ability to make flexible use of different images and focus their attention on appropriate features of problems (Carlson and Bloom 2005). Experts differ from novices in the problem-solving strategies they employ (Schoenfeld 1992).…”

Creencias de formadores de profesores de matemática sobre resolución de problema

“…Sin embargo, y pese a la importancia que diferentes instrumentos y organizaciones han dado a la RPM en términos de construir conocimiento y desarrollar habilidades matemáticas ISSN 1980-4415 DOI: http://dx.doi.org/10.1590/1980 (NCTM, 1989;OCDE, 2007), no existe un consenso significativo respecto de lo que significa (XENOFONTOS; ANDREWS, 2014;ARCAVI;FRIEDLANDER, 2007;CARLSON;BLOOM, 2005;CHAPMAN, 1997;LESTER, 1994;NUNOKAWA, 2005;SCHOENFELD, 1992). En este esfuerzo, se han llegado a determinar tres grandes categorías de concepciones respecto de la RPM, a saber: como proceso, como objetivo curricular y como método de enseñanza.…”

“…Al analizar las respuestas de los formadores de profesores se observa que la concepción sobre resolución de problemas no es única entre ellos, al igual que en la literatura (ANDREWS; XENOFONOS, 2009XENOFONOS, , 2014CARLSON;BLOOM, 2005;CHAPMAN, 1997;LESTER, 1994). Entre las concepciones de los formadores coexisten, al menos, dos definiciones fuertes en sus declaraciones, a saber: RPM como método de enseñanza y RPM como objetivo curricular.…”

Flexibilidad en la resolución de problemas de identificación de patrones lineales en estudiantes de educación secundaria

“…En este sentido, ser un resolutor eficaz de problemas implica plantearse si aplicando la estrategia seleccionada se progresa o no hacia el objetivo y, en consecuencia, decidir si perseverar o cambiar de dirección. Sin embargo, los resolutores que no tienen éxito tienden a elegir de forma rápida una estrategia de resolución y a perseverar en ella, aunque progresen poco o nada hacia el objetivo (CARLSON;BLOOM, 2005;GAROFALO;LESTER, 1985).…”

“…Porque ser competentes resolviendo problemas implica, por una parte, utilizar estrategias como las descritas por Stacey (1989) y otros autores para este tipo de problemas; por otra parte, también requiere estrategias metacognitivas como descomponer el problema, regular el proceso de resolución, verificar y evaluar resultados (como los obtenidos aplicando una relación de proporcionalidad). Estas estrategias metacognitivas juegan un papel crucial en el éxito en la resolución de problemas, como señalan algunas investigaciones (CARLSON; BLOOM, 2005;GAROFALO;LESTER, 1985;SCHOENFELD, 1992). Como en otros estudios el nuestro ha mostrado que los estudiantes tienen deficiencias aplicando estas estrategias metacognitivas en sus esfuerzos para encontrar la solución (SCHOENFELD, 1985(SCHOENFELD, , 1992, ya sea porque algunos quizá no se plantearon si continuar o no por el camino inicialmente emprendido mostrando, así, rigidez, ya sea porque no verificaron si la regla general que habían obtenido era válida en casos particulares.…”