Топологическое Моделирование Интегрируемых Систем Биллиардами: Реализация Числовых Инвариантов

Ведюшкина, Виктория Викторовна; Kibkalo, Vladislav; Фоменко, А. Т.

doi:10.31857/s2686954320040207

Cited by 12 publications

(9 citation statements)

References 0 publications

Supporting

Mentioning

Contrasting

Unclassified

Order By: Relevance

“…Другие разделы A, B, D гипотезы имеют собственный геометрический смысл, являясь при этом необходимыми условиями для истинности раздела C. Другим таким условием является локальная гипотеза Фоменко, сформулированная А. Т. Фоменко позднее в [33].…”

Section: гипотеза фоменко о биллиардахunclassified

“…В локальной гипотезе Фоменко ставится следующий вопрос: какие значения числовых меток и типы слоения Лиувилля "вблизи" атома, семьи или ребра молекулы могут быть реализованы биллиардами. Как оказалось, произвольное значение метки n реализуется на некоторой семье седловых атомов некоторой молекулы [33,41], а произвольное значение пары меток (r, ε) реализуется на некотором ребре некоторой молекулы. Напомним, что семьей молекулы называют связный подграф молекулы, прообраз которого имеет структуру единого расслоения Зейферта, а все атомы являются седловыми (гиперболическими).…”

Section: разделunclassified

“…В настоящее время доказана реализация каждого из числовых инвариантов биллиардов независимо от остальных, т. е. пункты 1, 3 (о значениях меток n и пары r, ε). Этот результат кратко изложен в работе [33] В. В. Ведюшкиной, В. А. Кибкало и А. Т. Фоменко вместе "атласом" найденных ранее биллиардов, реализующих определенные продвижения в доказательстве пунктов 2, 4. Реализация метки n (пункта 3) более подробно описана в работе [41] В. В. Ведюшкиной и В. А. Кибкало.…”

Section: пример наглядная реализация биллиардами случая жуковского ди...unclassified

“…Теорема 3.3 (см. [33]). Для любого значения целочисленной метки n или любой пары значений r ∈ {Q mod 1}∪ {∞}, ε = ±1 построена биллиардная книжка, слоение Лиувилля которой содержит некоторую семью или ребро соответственно с такими числовыми инвариантами.…”

Section: пример наглядная реализация биллиардами случая жуковского ди...unclassified

“…Реализация произвольных пар меток (r, ε) на некотором ребре выполнена В. В. Ведюшкиной (см. [33]) в утверждении 3.4 (где полностью доказан пункт 1 гипотезы) и утверждении 3.5. В нем на основе ряда результатов был составлен "атлас" биллиардов, которыми реализована значительная часть возможных случаев (т. е. значений меток и типов атомов на концах ребра).…”

Section: реализация реберного инвариантаunclassified

See 4 more Smart Citations

Realization of Integrable Hamiltonian Systems by Billiard Books

Fomenko,

Kharcheva,

Kibkalo

2020

Preprint

View full text Add to dashboard Cite

В работе обсуждается гипотеза А. Т. Фоменко о реализации интегрируемыми биллиардами топологии слоений Лиувилля гладких и аналитических интегрируемых гамильтоновых систем. Изложен алгоритм Ведюшкиной-Харчевой реализации биллиардными книжками 3-атомов, значительно упростившийся благодаря его формулировке в терминах f -графов. Отметим, что произвольный тип базы слоения Лиувилля на всей изоэнергетической 3-поверхности был также реализован В. В. Ведюшкиной и И. С. Харчевой с помощью другого алгоритма. В работе он наглядно проиллюстрирован на примере реализации инварианта известной интегрируемой системы Жуковского (случай Эйлера с гиростатом) в определенной зоне энергии. Как оказалось, при этом было реализовано и само слоение Лиувилля, а не только класс его базы, т. е. получена лиувиллева эквивалентность биллиардной и механической систем. Затем изложены результаты В. В. Ведюшкиной и В. А. Кибкало по построению биллиардов с произвольными числовыми инвариантами. Далее для биллиардных книжек без потенциала с определенным свойством доказано существование инварианта Фоменко-Цишанга и их принадлежность к классу топологически устойчивых систем. В конце приведен пример, когда добавление потенциала Гука к плоскому биллиарду порождает расщепляющуюся невырожденную 4-особенность ранга 1.

show abstract

Section: гипотеза фоменко о биллиардахunclassified

Section: разделunclassified

Section: пример наглядная реализация биллиардами случая жуковского ди...unclassified

Section: реализация реберного инвариантаunclassified

See 3 more Smart Citations

Realization of Integrable Hamiltonian Systems by Billiard Books

Fomenko,

Kharcheva,

Kibkalo

2020

Preprint

View full text Add to dashboard Cite

show abstract

Topological classification of billiards bounded by confocal quadrics in three-dimensional Euclidean space

Belozerov¹

2022

Sb. Math.

View full text Add to dashboard Cite

We study billiards on compact connected domains in bounded by a finite number of confocal quadrics meeting in dihedral angles equal to . Billiards in such domains are integrable due to having three first integrals in involution inside the domain. We introduce two equivalence relations: combinatorial equivalence of billiard domains determined by the structure of their boundaries, and weak equivalence of the corresponding billiard systems on them. Billiard domains in are classified with respect to combinatorial equivalence, resulting in 35 pairwise nonequivalent classes. For each of these obtained classes, we look for the homeomorphism class of the nonsingular isoenergy 5-manifold, and we show this to be one of three types: either , or , or . We obtain 24 classes of pairwise nonequivalent (with respect to weak equivalence) Liouville foliations of billiards on these domains restricted to a nonsingular energy level. We also define bifurcation atoms of three-dimensional tori corresponding to the arcs of the bifurcation diagram. Bibliography: 59 titles.

show abstract

Evolutionary force billiards

Фоменко¹,

Ведюшкина²,

Vedyushkina

2022

Известия Российской академии наук. Серия математическая

View full text Add to dashboard Cite

Введен новый класс интегрируемых биллиардов, названный эволюционными силовыми биллиардами. Они зависят от параметра и меняют свою топологию с ростом энергии (времени). Доказано, что они реализуют некоторые важные интегрируемые системы с двумя степенями свободы сразу на всем симплектическом четырехмерном фазовом многообразии, а не только на отдельных изоэнергетических $3$-поверхностях. Таковы, например, случай Эйлера и случай Лагранжа. Доказано также, что эти две известные системы "биллиардно эквивалентны", несмотря на то, что первая из них квадратично интегрируема, а вторая допускает линейный интеграл. Библиография: 74 наименования.

show abstract

Топологическое Моделирование Интегрируемых Систем Биллиардами: Реализация Числовых Инвариантов

Cited by 12 publications

References 0 publications

Realization of Integrable Hamiltonian Systems by Billiard Books

Realization of Integrable Hamiltonian Systems by Billiard Books

Topological classification of billiards bounded by confocal quadrics in three-dimensional Euclidean space

Evolutionary force billiards

Contact Info

Product

Resources

About